《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (2025·天津滨海新区期中)式子$\sqrt{(\pi - 4)^2}+\sqrt[3]{(3 - \pi)^3}$的值为 (A)

A.$7 - 2\pi$
B.$2\pi - 7$
C.$-1$
D.$1$

答案： 1.A【详解】$\sqrt{(\pi-4)^2}+\sqrt[3]{(3-\pi)^3}=|\pi-4|+3-\pi=4-\pi+3-\pi=7-2\pi$。

2. (2025·江苏扬州期中)若$1 ＜ a ＜ 2$，则$\sqrt[3]{(1 - a)^3}+\sqrt[4]{(2 - a)^4}$的化简结果是 (C)

A.$1$
B.$-1$
C.$3 - 2a$
D.$2a - 3$

答案： 2.C【详解】由$1 ＜ a ＜ 2$，得$2-a ＞ 0$，所以$\sqrt[3]{(1-a)^3}+\sqrt[4]{(2-a)^4}=1-a+|2-a|=1-a+2-a=3-2a$。

3. (2025·天津月考)若$a ＞ 0$，则$\sqrt[4]{a^3}$的分数指数幂形式为 (D)

A.$a^{\frac{1}{3}}$
B.$a^{\frac{1}{4}}$
C.$a^{\frac{4}{3}}$
D.$a^{\frac{3}{4}}$

答案： 3.D【详解】因为$a ＞ 0$，所以$\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac{3}{4}}$。

4. 已知$a ＞ 0$，则$a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}$等于 (D)

A.$a^{\frac{1}{6}}$
B.$a^{\frac{1}{3}}$
C.$a^{\frac{1}{2}}$
D.$a$

答案： 4.D【详解】$a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=a$。

5. (2025·吉林长春期末)设$a ＞ 0$，则下列运算正确的是 (D)

A.$a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{3}{4}} = a$
B.$a ÷ a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{2}}$
C.$a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}} = 0$
D.$(a^{\frac{1}{4}})^4 = a$

答案： 5.D【详解】对于A，$a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{4}{3}}=a^{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}=a^{\frac{8}{3}}$，故A错误；对于B，$a÷ a^{\frac{2}{3}}=a^{1-\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}}$，故B错误；对于C，$a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=a^{\frac{4}{3}}=a^0 = 1$，故C错误；对于D，$(a^{\frac{1}{4}})^4=a^{\frac{1}{4}×4}=a$，故D正确。

6. (2025·辽宁大连第二十四中学月考)已知$a ＞ 0$，将$\frac{a^2}{\sqrt{a · \sqrt[3]{a^2}}}$表示成有理数指数幂，其结果是 (C)

A.$a^{\frac{1}{3}}$
B.$a^{\frac{1}{4}}$
C.$a^{\frac{7}{6}}$
D.$a^{\frac{3}{2}}$

答案： 6.C【详解】$\frac{a^2}{\sqrt{a·\sqrt[3]{a^2}}}=\frac{a^2}{\sqrt{a· a^{\frac{2}{3}}}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^{\frac{5}{3}}}}=\frac{a^2}{(a^{\frac{5}{6}})}=\frac{a^2}{a^{\frac{5}{6}}}=a^{\frac{7}{6}}$。

1. 【题型一】(2025·江苏徐州第三中学期中)已知$a ＜ 1$，则$\sqrt{(a - 1)^2}+\sqrt[3]{a^3}$等于 (B)

A.$-1$
B.$1$
C.$2a - 1$
D.$1 - 2a$

答案： 1.B【详解】因为$a ＜ 1$，所以$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt[3]{a}=|a-1|+a=1-a+a=1$。

2. 【题型二、四】(2025·黑龙江哈尔滨期中)下列错误的是 (ABC)

A.$\sqrt[6]{y^2} = y^{\frac{1}{3}}$
B.$a^3 + a^4 = a^7$
C.$x^{-\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{x}(x \neq 0)$
D.$\sqrt[4]{a\sqrt{a}} = a^{\frac{3}{8}}$

答案： 2.ABC【详解】对于A，当$y ＜ 0$时，$\sqrt[6]{y^2}=y^{\frac{2}{6}}=y^{\frac{1}{3}}$，故A错误；对于B，当$a = 1$时显然等式不成立，故B错误；对于C，$x^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}(x\neq0)$，故C错误；对于D，$\sqrt[4]{a\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a· a^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{a^{\frac{3}{2}}}=a^{\frac{3}{8}}=(a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{8}}=a^{\frac{1}{4}}$，故D正确。

3. 【题型四】(2025·河南开封开学考试)已知$a + a^{-1} = 5$，则$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}$等于 (C)

A.$\sqrt{3}$
B.$-\sqrt{3}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm 2$

答案： 3.C【详解】由$a+a^{-1}=5$，得$(a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}})^2=a+a^{-1}-2=3$，所以$a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{3}$。

4. 【题型四】(2025·吉林长春市实验中学期中)已知$10^m = 2$，$10^n = 3$，则$10^{\frac{3m - 2n}{2}}$的值为 (D)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： 4.D【详解】根据题意，得$(10^{\frac{3m - 2n}{2}})^2=10^{3m - 2n}=10^{3m}×10^{-2n}=(10^m)^3×(10^n)^{-2}=2^3×3^{-2}=\frac{8}{9}$，因为$10^{\frac{3m - 2n}{2}}＞0$，所以$10^{\frac{3m - 2n}{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

5. 【题型二、四】(2025·吉林长春月考)已知正数$a$，$b$满足$\sqrt[a]{4} × \sqrt[b]{8} = 2$，则$3a + 2b$的最小值为 (D)

A.$10$
B.$12$
C.$18$
D.$24$

答案： 5.D【详解】$\sqrt[4]{4}×\sqrt[3]{8}=2^{\frac{2}{4}}×2^{\frac{3}{6}}=2^{\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=2}$，$\therefore\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1$，$3a + 2b=(3a + 2b)(\frac{2}{a}+\frac{3}{b})=6 + 6+\frac{4b}{a}+\frac{9a}{b}\geq12 + 2\sqrt{\frac{4b}{a}·\frac{9a}{b}}=12 + 2×6 = 24$，当且仅当$\begin{cases}\frac{4b}{a}=\frac{9a}{b}\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\end{cases}$，即$\begin{cases}a = 4\\b = 6\end{cases}$时，等号成立。

6. 【题型三】(2025·吉黑十校联考期中)计算：$(3\frac{3}{8})^{\frac{1}{3}} + (\sqrt{3} - 1)^0 + 2^{-1} =$3。

答案： 6.3【详解】$(3\frac{3}{8})^{-\frac{1}{3}}+(\sqrt{3}-1)^0+2^{-1}=(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}+(\sqrt{3}-1)^0+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+1+\frac{1}{2}=3$。