《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

7. 【题型一】(2025·陕西西安期末)我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征。函数$f(x)=\frac{x}{x^2 - 1}$的图象大致是（A）

答案： 7.A【详解】$f(2) = \frac{2}{2^2 - 1} = \frac{2}{3} ＞ 0$，$f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2 - 1} = -\frac{2}{3} ＜ 0$，所以C错误。

8. 【题型一】(2025·浙江衢州期末)函数$f(x)=(x + 1)^2(x - 2)$的部分图象大致为（A）

答案： 8.A【详解】由题意知$x ＞ 2$时，$f(x) ＞ 0$，排除C，D；$f(0) = -2 ＜ 0$，可以排除B。

9. 【题型二】如图，四边形$BCDE$是矩形，$BC = 8$，$CD = 6$，$\triangle ABE$是等腰直角三角形。点$M$从点$A$出发，沿着边$AB$，$BC$运动到点$C$，点$N$在边$AE$，$ED$上运动，直线$MN // CD$。设点$M$运动的路程为$x$，$MN$的左侧部分的多边形的周长(含线段$MN$的长度)为$L(x)$。当点$M$在线段$BC$上运动时，$L(x)$的解析式为（A）


A.$L(x)=2x + 6(3\sqrt{2}\leq x\leq3\sqrt{2}+8)$
B.$L(x)=2x + 6(0\leq x\leq8)$
C.$L(x)=2x + 6\sqrt{2}+6(3\sqrt{2}\leq x\leq3\sqrt{2}+8)$
D.$L(x)=2x + 6\sqrt{2}(0\leq x\leq8)$

答案： 9.A【详解】因为$\triangle ABE$是等腰直角三角形，$BE = CD = 6$，所以$AB = 3\sqrt{2}$，当点$M$在线段$BC$上运动时，$3\sqrt{2} \leq x \leq 3\sqrt{2} + 8$，$L(x) = 2x + 6$。

10. 【题型一】(2025·江苏苏州期末)函数$y = f(x)$的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（D）

A.$y = f(-x)+1$
B.$y = f(-x + 1)$
C.$y = -f(x + 1)$
D.$y = -f(-x - 1)$

答案： 10.D【详解】先将函数$y = f(x)$的图象关于原点对称，可得到函数$y = -f(-x)$的图象，如图所示。再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得到题图②所示图象，故题图②所示的图象对应的函数解析式为$y = -f(-(x + 1)) = -f(-x - 1)$。

11. 【题型一、三】已知函数$f(x)=\begin{cases}0,x ＜ 1,\\x + 1,1\leq x ＜ 2,\\-x^2 + 5,x\geq2,\end{cases}$若$f[f(a)] = 1$，则$a$的值为（D）

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： 11.D【详解】因为$f(x) = \begin{cases}0, x ＜ 1,\\x + 1, 1 \leq x ＜ 2,\\-x^2 + 5, x \geq 2,\end{cases}$当$x ＜ 1$时，$f(x) = 0$；当$1 \leq x ＜ 2$时，$f(x) = x + 1 \in [2, 3)$；当$x \geq 2$时，$f(x) = -x^2 + 5 \in (-\infty, 1]$；令$t = f(a)$，则由$f[f(a)] = 1$，得$f(t) = 1$，由上述分析可得$t \geq 2$且$-t^2 + 5 = 1$，解得$t = 2$，即$f(a) = 2$，所以$1 \leq a ＜ 2$且$a + 1 = 2$，解得$a = 1$。

12. 【题型一、三】函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 4x + 3,0\leq x\leq3,\\x + 3,-3\leq x ＜ 0\end{cases}$的值域为（D）

A.$[-1,+\infty)$
B.$[3,+\infty)$
C.$[-1,0]$
D.$[-1,3]$

答案： 12.D【详解】方法一：因为$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$且$0 \leq x \leq 3$，所以当$x = 2$时，$y_{min} = -1$，当$x = 0$时，$y_{max} = 3$；当$-3 \leq x ＜ 0$时，$0 \leq x + 3 ＜ 3$，所以函数$f(x) = \begin{cases}x^2 - 4x + 3, 0 \leq x \leq 3,\\x + 3, -3 \leq x ＜ 0\end{cases}$的最小值为-1，最大值为3，故函数$f(x)$的值域为$[-1, 3]$。方法二：画出$f(x)$的草图，如图，由图象可知函数$f(x)$的最小值为-1，最大值为3，故函数$f(x)$的值域为$[-1, 3]$。

13. 【题型一、三】(2025·上海阶段练习)设$m\in R$，已知$f(x)=\begin{cases}x^2,x ＜ 1,\\x + 1,x\geq1,\end{cases}$若$f(m) ＜ 1$，则$m$的取值范围为(-1, 1)。

答案： 13.$(-1, 1)$【详解】当$m ＜ 1$时，$m^2 ＜ 1$，解得$-1 ＜ m ＜ 1$，因此$-1 ＜ m ＜ 1$；当$m \geq 1$时，$m + 1 ＜ 1$，解得$m ＜ 0$，无解，所以$m$的取值范围为$(-1, 1)$。

14. 【题型一、二、三】(2025·上海长宁期末)已知$\min\{a,b\}=\begin{cases}a,a ＜ b,\\b,a\geq b,\end{cases}$则函数$f(x)=\min\{x + 1,-x^2 - 4x - 5\}$的值域为(-\infty, -1]。

答案： 14.$(-\infty, -1]$【详解】令$x + 1 = -x^2 - 4x - 5$，解得$x = -2$或$x = -3$，函数大致图象如图。由图可知，函数$f(x) \leq -1$。