《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

11. 已知集合$A=\{x|2a\leqslant x\leqslant a + 3\}$，$B=\{x|-1\leqslant x\leqslant7\}$，$C=\{x|x＜1$或$x＞3\}$。
(1)当$a = - 1$时，求$(A\cap B)\cup C$；
(2)若$A\cup C=\mathbf{R}$，且$a$为整数，求$\complement_{B}A$。

答案： 11.解:
(1)当$a=-1$时,$A=\{x|-2\leq x\leq2\}$,所以$A\cap B=\{x|-1\leq x\leq2\}$,所以$(A\cap B)\cup C=\{x|x\leq2$或$x＞3\}$.
(2)因为$A\cup C=\mathbf{R}$,所以$\begin{cases}2a\leq1,\\a+3\geq3,\end{cases}$解得$0\leq a\leq\frac{1}{2}$.又$a$为整数,所以$a=0$,所以$A=\{x|0\leq x\leq3\}$,所以$\complement_B A=\{x|-1\leq x＜0$或$3＜x\leq7\}$.

12. (2025·北京朝阳区陈经纶中学期中)已知集合$A$为数集，定义$f_A(x)=\begin{cases}1,x\in A,\\0,x\notin A.\end{cases}$若$A$，$B\subseteq\{x|x\leqslant8,x\in\mathbf{N}^*\}$，定义：$d(A,B)=|f_A(1)-f_B(1)|+|f_A(2)-f_B(2)|+·s+|f_A(8)-f_B(8)|$。
(1)已知集合$A=\{1,2\}$，直接写出$f_A(1)$，$f_A(2)$及$f_A(8)$的值；
(2)已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，$C=\varnothing$，求$d(A,B)$，$d(A,C)$的值；
(3)若$A$，$B$，$C\subseteq\{x|x\leqslant8,x\in\mathbf{N}^*\}$，求证：$d(A,B)+d(A,C)\geqslant d(B,C)$。

答案：
12.解:
(1)集合$A=\{1,2\}$,$f_A(x)=\begin{cases}1,x\in A,\\0,x\notin A,\end{cases}$则$f_A(1)=1$,$f_A(2)=1$,$f_A(8)=0$.
(2)集合$A=\{1,2,3\}$,$B=\{2,3,4\}$,$C=\varnothing$,$d(A,B)=|f_A(1)-f_B(1)|+|f_A(2)-f_B(2)|+·s+|f_A(8)-f_B(8)|=|1-0|+|1-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|0-1|+|0-0|+|0-1|=2$,$d(A,C)=|f_A(1)-f_C(1)|+|f_A(2)-f_C(2)|+·s+|f_A(8)-f_C(8)|=|1-0|+|1-0|+|1-0|+|0-0|+|0-0|+|0-0|+|0-0|+|0-0|=3$.
(3)由$d(A,B)=|f_A(1)-f_B(1)|+|f_A(2)-f_B(2)|+·s+|f_A(8)-f_B(8)|$,可得$d(A,B)$的值即为两集合A,B中相异元素个数,定义$card(A)$为集合A中元素个数,则$d(A,B)=card(\{x|x\in A\cup B,x\notin A\cap B\})$,令$M,N,P,Q,R,S,T\subseteq\{x|x\leq8,x\in\mathbf{N}^*\}$,$M\cap N\cap P\cap Q\cap R\cap S\cap T=\varnothing$,$A=M\cup N\cup R\cup S$,$B=N\cup P\cup Q\cup R$,$C=Q\cup R\cup S\cup T$,则$d(A,B)=card(M)+card(P)+card(Q)+card(S)$,$d(A,C)=card(M)+card(N)+card(Q)+card(T)$,$d(B,C)=card(N)+card(P)+card(S)+card(T)$,则$d(A,B)+d(A,C)=2card(M)+card(N)+card(P)+2card(Q)+card(S)+card(T)$,$d(A,B)+d(A,C)-d(B,C)=2card(M)+2card(Q)\geq0$,故有$d(A,B)+d(A,C)\geq d(B,C)$.

1. (2023·新高考全国Ⅱ)设集合$A=\{0,-a\}$，$B=\{1,a - 2,2a - 2\}$，若$A\subseteq B$，则$a$的值为（B）

A.$2$
B.$1$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$-1$

答案： 1.B【详解】因为$A\subseteq B$,所以若有$a-2=0$,解得$a=2$,此时$A=\{0,-2\}$,$B=\{1,0,2\}$,不符合题意;若$2a-2=0$,解得$a=1$,此时$A=\{0,-1\}$,$B=\{1,-1,0\}$,符合题意.综上所述:$a=1$.