《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

12. 【题型二】如图,用弧度制分别写出下列条件下角的集合.
(1)终边在射线 $OA$ 上;
(2)终边在直线 $AB$ 上.

答案：
10.A 【详解】如图，设弧$AB$的长为$l_{1}$，弧$CD$的长为$l_{2}$，因为该扇形所对的中心角的弧度数为$2.7$，所以$l_{1}=2.7OA$，$l_{2}=2.7OC$，即$OA=\frac{l_{1}}{2.7}$，$OC=\frac{l_{2}}{2.7}$，又因为$AC=OA - OC=\frac{l_{1}-l_{2}}{2.7}=\frac{50}{3}$，所以$l_{1}-l_{2}=45$，又因为$l_{1}+l_{2}=95$，解得$l_{1}=70$，所以该扇环的外弧线长$70 cm$.

13. 【题型五】已知某扇形的圆心角是 $\alpha$,所在圆的半径是 $R$.
(1)若 $\alpha=45^{\circ},R=10$,求扇形的弧长 $l$ 及面积 $S$;
(2)若扇形的周长是一定值 $C(C＞0)$,当 $\alpha$ 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 并求最大面积;
(3)若扇形的面积是一定值 $S(S＞0)$,当 $\alpha$ 为多少弧度时,该扇形有最小周长? 并求最小周长.

答案： 13.解：
(1)若$\alpha = 45^{\circ}$，$R = 10$，则$\alpha = 45^{\circ} × \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{4}$，所以扇形的弧长$l = \alpha R=\frac{\pi}{4} × 10=\frac{5\pi}{2}$，扇形的面积$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2} × \frac{5\pi}{2} × 10=\frac{25\pi}{2}$.
(2)扇形周长$C = 2R + l = 2R + \alpha R$，$\therefore R=\frac{C}{2+\alpha}$，$\therefore S=\frac{1}{2}\alpha R^{2}=\frac{1}{2}\alpha(\frac{C}{2+\alpha})^{2}=\frac{C^{2}}{2} · \frac{\alpha}{(2+\alpha)^{2}}=\frac{C^{2}}{2} · \frac{\alpha}{4 + 4\alpha+\alpha^{2}}=\frac{C^{2}}{2} · \frac{1}{\frac{4}{\alpha}+\alpha + 4} \leqslant \frac{C^{2}}{16}$，当且仅当$\frac{4}{\alpha}=\alpha$，即$\alpha = 2$时，扇形面积有最大值$\frac{C^{2}}{16}$.
(3)扇形的面积$S=\frac{1}{2}\alpha R^{2}$，所以$R=\sqrt{\frac{2S}{\alpha}}$，所以$C = 2R + l = (2 + \alpha)R=(2 + \alpha)\sqrt{\frac{2S}{\alpha}}=\sqrt{2S} · (\frac{2}{\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\alpha}) \geqslant 2\sqrt{2S}$，当且仅当$\frac{2}{\sqrt{\alpha}}=\sqrt{\alpha}$，即$\alpha = 2$时周长取最小值$4\sqrt{S}$.