《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

(多选)下列角度与弧度的互化正确的是(BCD)

A.$\frac{511}{6}\pi = 1530^{\circ}$
B.$-\frac{7\pi}{12} = -105^{\circ}$
C.$10^{\circ} = \frac{\pi}{18}$
D.$-855^{\circ} = -\frac{19\pi}{4}$

答案： BCD 【详解】对于A,$\frac{511}{6}\pi=\frac{511}{6} × 180°=15330°$,故A错误

1. 在平面直角坐标系中,已知角$\alpha(0 ＜ \alpha ＜ \pi)$的顶点与坐标原点重合,始边与$x$轴的非负半轴重合,终边经过点$P(-1,\sqrt{3})$,下列结论错误的是(C)

A.$\alpha = \frac{2\pi}{3}$
B.$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\tan\alpha = -\sqrt{3}$

答案： 1.C【详解】由题意知$|OP|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$,O为坐标原点,则$\sin\alpha=\frac{y}{|OP|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos\alpha=\frac{x}{|OP|}=-\frac{1}{2}$,$\tan\alpha=\frac{y}{x}=-\sqrt{3}$,又$0＜\alpha＜\pi$,则$\alpha=\frac{2\pi}{3}$.

2. 已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$P(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$,则$\cos\alpha$的值为(B)

A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： 2.B【详解】因为角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$P(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$,所以$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$.

3. 已知$\sin\theta ＜ 0,\cos\theta ＜ 0$,则角$\theta$的终边位于(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.C【详解】根据三角函数的符号与角的象限之间的关系,由$\sin\theta＜0,\cos\theta＜0$,可得角$\theta$的终边位于第三象限.

4. 若$\sin\alpha\tan\alpha ＞ 0$,则$\alpha$为(A)

A.第一、四象限的角
B.第二、三象限的角
C.第一、三象限的角
D.第二、四象限的角

答案： 4.A【详解】由$\sin\alpha\tan\alpha＞0$,可知$\sin\alpha,\tan\alpha$同号,所以$\alpha$为第一象限的角和第四象限的角.

5. “$\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$”是“$\sin\theta = \frac{1}{2}$”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5.A【详解】当$\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in Z$时,可得$\sin\theta=\frac{1}{2}$成立,即充分性成立;反之,当$\sin\theta=\frac{1}{2}$时,可得$\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$\theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in Z$,即必要性不成立,所以“$\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in Z$”是“$\sin\theta=\frac{1}{2}$”的充分不必要条件.

6. $\sin(-1380^{\circ})$的值为(D)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 6.D【详解】$\sin(-1380°)=\sin(-4×360°+60°)=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 【题型一】(多选)已知角$\alpha$的终边与单位圆交于点$(\frac{1}{3},n)$,则(AD)

A.$\cos\alpha = \frac{1}{3}$
B.$n = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\tan\alpha = \pm 2\sqrt{2}$

答案： 1.AD【详解】在单位圆中,$(\frac{1}{3})^2+n^2=1$,解得$n=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.由三角函数的定义,知$\sin\alpha=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$\cos\alpha=\frac{1}{3}$,$\tan\alpha=\pm2\sqrt{2}$.

2. 【题型二】已知角$\theta$的终边上有一点$P(a,2a),a \neq 0$,则$\cos\theta$的值是(C)

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.C【详解】依题意,知$\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+(2a)^2}}=\frac{a}{\sqrt{5}|a|}=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.