《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (2025·辽宁重点高中期末联考)若对任意 $ x \in A $，$\frac{1}{x} \in A$，则称 $ A $ 为“影子关系”集合. 下列集合为“影子关系”集合的是 (D)

A.$\{1,3\}$
B.$\{-1,0,1\}$
C.$\{x|x＞1\}$
D.$\{x|x＞0\}$

答案： 1.D　【详解】对于A,3∈{1,3},$\frac{1}{3}$∉{1,3},不符合题意,故A错误;对于B,0∈{-1,0,1},但$\frac{1}{0}$无意义,不符合题意,故B错误;对于C,例如2∈{x|x＞1},但$\frac{1}{2}$∉{x|x＞1},不符合题意,故C错误;对于D,对任意x∈{x|x＞0},均有$\frac{1}{x}$∈{x|x＞0},符合题意,故D正确.

2. 定义集合 $ A,B $ 的一种运算 $ A \otimes B = \{x|x = b^2 - a,a \in A,b \in B\}$，若 $ A = \{1,4\}$，$ B = \{-1,2\}$，则 $ A \otimes B $ 中的元素个数为 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C　【详解】因为A={1,4},B={-1,2},当a=1,b=-1时,x =b²−a=0,当a=1,b=2时,x=b²−a=3,当a=4,b=-1时,x =b²−a=-3,当a=4,b=2时,x=b²−a=0,所以A⊗B={0,-3,3},故A⊗B中的元素个数为3.

3. (多选)设 $ P,Q $ 为非空实数集，定义 $ P * Q = \{z|z = xy,x \in P,y \in Q\}$，则 (AC)

A.$ P * \{1\} \subseteq P $
B.$ P * \{0\} \subsetneqq \{0\} $
C.$ P * Q = Q * P $
D.$ P * Q = P \cap Q $

答案： 3.AC　【详解】由P * Q的定义得,P * {1}=P显然成立,所以A正确;由P * Q的定义得,P * {0}={0},所以B错误;根据实数乘法的交换律得,P * Q=Q * P成立,所以C正确;设P={1,2},Q={0},则P * Q={0},P∩Q=∅,所以P * Q≠P∩Q,所以D错误.

4. 若集合 $ A $ 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若 $\{x,y\} \subseteq A$，则 $ xy,x + y \in A $，且当 $ x \neq 0 $ 时，$\frac{y}{x} \in A$，则称集合 $ A $ 是“紧密集合”. 以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合 $ A $ 是“紧密集合”，且 $ x,y \in A $，则 $ x - y \in A $. 其中正确的个数为 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4.B　【详解】若x=2,y=1,而$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$∉Z,故整数集不是“紧密集合”，所以①错误;根据“紧密集合”的定义,实数集是“紧密集合”，所以②正确;因为集合{-1,0,1}是“紧密集合”，所以“紧密集合”可以是有限集，所以③正确;因为集合A={-1,0,1}是“紧密集合”，但-1 - 1∉A,所以④错误.

5. (2025·辽宁沈阳市五校协作体期中联考)已知集合 $ U = \{1,2,3,4\}$，若 $ A,B $ 是 $ U $ 的两个非空子集，记满足“$ A $ 中元素的最小值大于 $ B $ 中元素的最大值”为集合对 $(A,B)$，则所有集合对 $(A,B)$ 的个数为 (B)

A.16
B.17
C.18
D.19

答案： 5.B　【详解】当A中元素的最小值为1时,不符合题意.当A中元素的最小值为2时,集合A为:{2},{2,3},{2,4},{2,3,4},集合B={1},集合对(A,B)的个数为4,当A中元素的最小值为3时,集合A为{3},{3,4},集合B为{1},{2},{1,2},集合对(A,B)的个数为6,当A中元素的最小值为4时,集合A为{4},集合B为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},集合对(A,B)的个数为7.综上:所有集合对(A,B)的个数为4+6+7=17.

6. 我们知道，如果集合 $ A \subseteq S $，那么 $ S $ 的子集 $ A $ 的补集为 $\complement_S A = \{x|x \in S$，且 $ x \notin A\}$. 类似地，对于集合 $ A,B $，我们把集合 $\{x|x \in A$，且 $ x \notin B\}$ 称为集合 $ A $ 与 $ B $ 的差集，记为 $ A - B $.
(1) 若 $ A = \{1,2,3,4,5\}$，$ B = \{4,5,6,7,8\}$，则 $ A - B = ${1,2,3}，$ B - A = ${6,7,8}.
(2) 在下列各图中用阴影表示集合 $ A - B $.

(3) 如果 $ A - B = \varnothing $，那么集合 $ A $ 与 $ B $ 之间的关系是A⊆B.

答案：
6.解:
(1)由题意A - B={1,2,3},B - A={6,7,8}.
(2)如图所示.
(3)因为A - B=∅,所以有结论:若x∈A,则一定有x∈B,所以A⊆B.

7. (2025·上海大学附属嘉定高级中学期中)若集合 $ A_1,A_2 $ 满足 $ A_1 \cup A_2 = A $，则称 $(A_1,A_2)$ 为集合 $ A $ 的一种分拆，并规定：当且仅当 $ A_1 = A_2 $ 时，$(A_1,A_2)$ 与 $(A_2,A_1)$ 为集合 $ A $ 的同一种分拆.
(1) 集合 $ A = \{a,b\}$ 的不同分拆种数为多少?
(2) 集合 $ A = \{a,b,c\}$ 的不同分拆种数为多少?
(3) 由上述两题归纳一般的情形：集合 $ A = \{a_1,a_2,a_3,·s,a_n\}$ 的不同分拆种数为多少? (不必证明)

答案： 7.解:
(1)A₁=∅时,A₂=A,此时只有1种分拆;A₁为单元素集时,A₁有两种情况,此时A₂=∁ₐA₁或A,故分拆种数为4;当A₁为A时,A₂可取A的任何子集,此时A₂有4种情况,故分拆种数为4,故分拆种数共有9种.
(2)A₁=∅时,A₂=A,此时只有1种分拆;A₁为单元素集时,A₂=∁ₐA₁或A,此时A₁有三种情况,故分拆种数为6;A₁为双元素集时,例如A₁={a,b},A₂={c},{a,c},{b,c},{a,b,c},A₁有三种情况,分拆种数为12;当A₁为A时,A₂可取A的任何子集,此时A₂有8种情况,故拆法为8种,总之,共27种分拆.
(3)集合A={a₁,a₂,a₃,⋯,aₙ}的不同分拆种数为3ⁿ.