《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)(2025·辽宁阶段练习)设 $ m,n $ 为非零实数,且 $ m ＜ n $,则下列不等式恒成立的是(BC)

A.$ mn ＜ n^{2} $
B.$ m^{3} ＜ n^{3} $
C.$ \frac{1}{mn^{2}} ＜ \frac{1}{m^{2}n} $
D.$ m^{2} ＜ n^{2} $

答案： 1.BC [详解]因为$m$，$n$为非零实数，且$m ＜ n$，对于A，取$m = -2$，$n = -1$，则$mn = 2 ＞ 1 = n^{2}$，故A错误；对于B，$m^{3}-n^{3}=(m - n)·(m^{2}+mn + n^{2})=(m - n)\left[\left(m+\frac{n}{2}\right)^{2}+\frac{3n^{2}}{4}\right]＜0$，所以$m^{3}＜n^{3}$，故B正确；对于C，$\frac{1}{mn^{2}}-\frac{1}{m^{2}n}=\frac{m - n}{m^{2}n^{2}}＜0$，即$\frac{1}{mn^{2}}＜\frac{1}{m^{2}n}$，故C正确；对于D，取$m = -2$，$n = 1$，则$m^{2}=4 ＞ 1 = n^{2}$，故D错误。

2. 若 $ -1 ＜ x ＜ 2,0 ＜ y ＜ 3 $,则 $ 2x - y $ 的取值范围为$-5 ＜ 2x - y ＜ 4$.

答案： 2.$-5 ＜ 2x - y ＜ 4$ [详解]因为$-1 ＜ x ＜ 2$，$0 ＜ y ＜ 3$，所以$-2 ＜ 2x ＜ 4$，$-3 ＜ -y ＜ 0$，则$-5 ＜ 2x - y ＜ 4$。

1. 已知 $ a,b,c $ 为三角形的三边长,且 $ S = a^{2} + b^{2} + c^{2},P = ab + bc + ca $,则(D)

A.$ S \geq 2P $
B.$ P ＜ S ＜ 2P $
C.$ S ＞ P $
D.$ P \leq S ＜ 2P $

答案： 1.D [详解]由基本不等式可知，$P = ab + bc + ca\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=S$，当且仅当$a = b = c$时取等号。故$P\leqslant S$。又三角形的三边满足$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，故$ac + bc ＞ c^{2}$，$ab + bc ＞ b^{2}$，$ab + ac ＞ a^{2}$。三式累加有$2ab + 2ac + 2bc ＞ a^{2}+b^{2}+c^{2}$，即$2P ＞ S$。综上有$P\leqslant S ＜ 2P$。

2. 下列不等式中等号可以取到的是(C)

A.$ \sqrt{x^{2} + 5} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 5}} \geq 2 $
B.$ x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2} + 2} \geq 2 $
C.$ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq 2 $
D.$ |x| + 3 + \frac{1}{|x| + 3} \geq 2 $

答案： 2.C [详解]对于A，因为$\sqrt{x^{2}+5}＞0$，所以$\sqrt{x^{2}+5}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}\geqslant2\sqrt{\sqrt{x^{2}+5}·\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}}=2$，当且仅当$\sqrt{x^{2}+5}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}$，即$x^{2}=-4$时取等号，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为$x^{2}+2＞0$，所以$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+2}\geqslant2\sqrt{(x^{2}+2)·\frac{1}{x^{2}+2}}=2$，当且仅当$x^{2}+2=\frac{1}{x^{2}+2}$，即$x^{2}=-1$时取等号，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为$x^{2}＞0$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant2\sqrt{x^{2}·\frac{1}{x^{2}}}=2$，当且仅当$x^{2}=\frac{1}{x^{2}}$，即$x = \pm1$时取等号，故C符合；对于D，因为$\vert x\vert+3＞0$，所以$\vert x\vert+3+\frac{1}{\vert x\vert+3}\geqslant2\sqrt{(\vert x\vert+3)·\frac{1}{\vert x\vert+3}}=2$，当且仅当$\vert x\vert+3=\frac{1}{\vert x\vert+3}$，即$\vert x\vert=-2$时取等号，故等号不成立，故D不符合。

3. 如果 $ m ＞ 0 $,那么 $ m + \frac{4}{m} $ 的最小值为(C)

A.2
B.$ 2\sqrt{2} $
C.4
D.8

答案： 3.C [详解]$m ＞ 0$，$m+\frac{4}{m}\geqslant2\sqrt{m·\frac{4}{m}} = 4$，当且仅当$m=\frac{4}{m}$即$m = 2$时取等号，所以$m+\frac{4}{m}$的最小值为4。

4. 设 $ x,y ＞ 0 $ 且 $ x + 2y = 40 $,则 $ 2xy $ 的最大值是(A)

A.400
B.100
C.40
D.20

答案： 4.A [详解]因为$x$，$y ＞ 0$，所以$x + 2y\geqslant2\sqrt{2xy}$，即$40\geqslant2\sqrt{2xy}$，所以$2xy\leqslant400$，当且仅当$x = 2y$且$x + 2y = 40$，即$x = 20$，$y = 10$时等号成立。

5. 若 $ x ＞ 0,y ＞ 0 $,且 $ x + y \leq 4 $,则下列不等式恒成立的是(D)

A.$ \frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} $
B.$ \sqrt{xy} \geq 2 $
C.$ \frac{1}{xy} \geq 1 $
D.$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 1 $

答案： 5.D [详解]因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$x + y ＞ 0$，又$x + y\leqslant4$，所以$\frac{1}{x + y}\geqslant\frac{1}{4}$，故A错误；根据基本不等式，$\sqrt{xy}\leqslant\frac{x + y}{2}\leqslant2$，当$x = y = 2$时等号成立，故B错误；令$x = y = 2$，则$\frac{1}{xy}=\frac{1}{4}＜1$，故C错误；$x + y\leqslant4$，则$\frac{x + y}{4}\leqslant1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)·\frac{x + y}{4}=\frac{y}{4x}+\frac{x}{4y}+\frac{1}{2}\geqslant2\sqrt{\frac{y}{4x}·\frac{x}{4y}}+\frac{1}{2}=1$，当$x = y = 2$时等号成立，故D正确。

1. 【题型一】(2025·安徽六安期末)若正数 $ a,b $ 满足 $ a^{2} + 4b^{2} = 2 $,则当 $ ab $ 取最大值时,$ a $ 的值为(C)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.1
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 1.C [详解]根据基本不等式，得$a^{2}+4b^{2}\geqslant2\sqrt{a^{2}·4b^{2}} = 4ab$，所以$4ab\leqslant2$，所以$ab\leqslant\frac{1}{2}$，当且仅当$a = 2b = 1$时等号成立，此时$a$的值为1。

2. 【题型二、三】下列结论正确的是(C)

A.当 $ x ＜ 2 $ 时,$ x + \frac{1}{x - 2} \geq 4 $
B.当 $ x \geq 2 $ 时,$ x + \frac{2}{x} $ 的最小值是 $ 2\sqrt{2} $
C.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} \geq 4 $
D.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ x + \frac{1}{x + 1} $ 的最小值为 1

答案： 2.C [详解]对于A，当$x = 0$时，$x+\frac{1}{x - 2}=-\frac{1}{2}$，故A错误；对于B，当$x＞0$时，$x+\frac{2}{x}\geqslant2\sqrt{2}$，当且仅当$x=\sqrt{2}$时等号成立，故B错误；对于C，当$x＞0$时，$\sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\geqslant4$，当且仅当$\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x}}$，即$x = 4$时等号成立，故C正确；对于D，当$x＞-1$时，$x + 1+\frac{1}{x + 1}-1\geqslant2 - 1 = 1$，当且仅当$x + 1=\frac{1}{x + 1}$，即$x = 0$时等号成立，故D错误。

3. 【题型三】(2025·辽宁沈阳开学考试)$ x + \frac{1}{x - 1}(x ＞ 1) $ 的最小值为(B)

A.1
B.3
C.4
D.5

答案： 3.B [详解]因为$x＞1$，所以$x - 1＞0$，所以$x+\frac{1}{x - 1}=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geqslant2\sqrt{(x - 1)·\frac{1}{x - 1}}+1 = 3$，当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$时取“$=$”。

4. 【题型三】(2025·天津月考)已知正数 $ x,y $ 满足 $ x^{2} + y^{2} = 32 $,则 $ x + y $ 的最大值为(A)

A.8
B.10
C.12
D.14

答案： 4.A [详解]因为$\frac{x + y}{2}\leqslant\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$，$x^{2}+y^{2}=32$，所以$x + y\leqslant2\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=8$，当且仅当$x = y = 4$时，等号成立，即$x + y$的最大值为8。

5. 【题型一、三】(2025·黑龙江哈尔滨月考)已知 $ m ＞ 0,n ＞ 0,2m + n = 1 $,则 $ \frac{1}{4m} + \frac{2}{n} $ 的最小值为(C)

A.4
B.$ 2\sqrt{2} $
C.$ \frac{9}{2} $
D.16

答案： 5.C [详解]因为$m＞0$，$n＞0$，$2m + n = 1$，所以$\frac{1}{4m}+\frac{2}{n}=\left(\frac{1}{4m}+\frac{2}{n}\right)·(2m + n)=\frac{1}{2}+\frac{n}{4m}+\frac{4m}{n}+2\geqslant\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{n}{4m}·\frac{4m}{n}}=\frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{n}{4m}=\frac{4m}{n}$，即$n = 2m=\frac{1}{3}$时等号成立，所以$\frac{1}{4m}+\frac{2}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$。