《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

9. 【题型一、三、五】某公司已成功研发$A$，$B$两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金$2$千万元，现在准备投入资金进行生产。经市场调查与预测，生产$A$芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入$1$千万元，公司获得净收入$0.25$千万元；生产$B$芯片的净收入$y$（千万元）是关于投入资金$x$（千万元）的幂函数，其图象如图所示。
(1) 试分别求出生产$A$，$B$两种芯片的净收入$y$（千万元）与投入资金$x$（千万元）的函数关系式；
(2) 现在公司准备投入$4$亿元资金同时生产$A$，$B$两种芯片。设投入$x$千万元生产$B$芯片，用$f(x)$表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产$B$芯片投入的资金。（利润$= A$芯片净收入$+ B$芯片净收入$-$研发耗费资金）

答案： 9.解:
(1)(ⅰ)不妨设生产$A$芯片的净收入$y$(千万元)与投入的资金$x$(千万元)的函数关系式为：$y = kx$，从而$0.25 = k$，故$y = 0.25x$.
(ⅱ)设生产$B$芯片的净收入$y$(千万元)与投入的资金$x$(千万元)的函数关系式为$y = x^{\alpha}$，由图象可知，$y = x^{\alpha}$的图象过点$(4,2)$，即$2 = 4^{\alpha}$，解得$\alpha = \frac{1}{2}$，故所求函数关系式为$y = x^{\frac{1}{2}}$.
(2)由题意可知，$f(x)=0.25(40 - x)+x^{\frac{1}{2}} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 0.25x + 8 = - 0.25(x^{\frac{1}{2}} - 2)^{2}+9$，由二次函数的性质可知，当$x^{\frac{1}{2}} = 2$，即$x = 4$时，$f(x)$有最大值$9$.

10. 【题型二、四】（2025·上海复旦大学附属中学期中）童装设计公司打算在$2023$年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为$300$万元，若该生产线每年均可产出$x$万套童装，还需要投入物料、人工成本等合计$y$万元，通过市场统计调查得出：当$0 ＜ x\leqslant 20$时，$y = x^2 + 40x - 100$；当$x ＞ 20$时，$y = 81x + \frac{1600}{x} - 600$，生产的每件童装都可以以$80$元的价格售出。
(1) 设$2024$年该童装生产线的利润为$W$（$2024$年利润$=$总收入$-$生产线的成本$-$物料及人工等成本合计），求$W$关于$x$的函数解析式及其定义域；
(2) $2025$年生产多少万套童装时，能使得生产线利润最大？最大利润为多少？

答案： 10.解:
(1)当$0 ＜ x \leq 20$时，$W = 80x - (x^{2}+40x - 100)-300 = - x^{2}+40x - 200$；当$x ＞ 20$时，$W = 80x - (\frac{1600}{x}+881 - 600)-300 = - x - \frac{1600}{x}+300$.所以$W = \begin{cases}-x^{2}+40x - 200,0 ＜ x \leq 20\\-x - \frac{1600}{x}+300,x ＞ 20\end{cases}$且定义域为$(0,+\infty)$.
(2)当$0 ＜ x \leq 20$时，生产线利润$P = - x^{2}+40x + 100$，易知二次函数图象开口向下，对称轴为$x = 20$，所以当$x = 20$时，$P$有最大值，最大值为$500$；当$x ＞ 20$时，$P = - x - \frac{1600}{x}+600 = - (x + \frac{1600}{x})+600 \leq - 2\sqrt{x · \frac{1600}{x}}+600 = 520$，当且仅当$x = \frac{1600}{x}$，即$x = 40$时，等号成立，此时$P$的最大值为$520$.综上所述，$2025$年生产$40$万套童装时，能使得生产线利润最大，最大利润为$520$万元.