《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

13. 【题型三、五】(2025·吉林长春吉大附中实验学校期中)已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)=\frac{a - 2^{x}}{b + 2^{x}}$是奇函数.
(1)求$a,b$的值；
(2)判断$f(x)$的单调性并证明；
(3)若存在$t\in[0,4]$，使$f(k + t^{2})+f(4k - 2t^{2})＜0$成立，求实数$k$的取值范围.

答案： 13.解：
(1)因为函数$f(x)=\frac{a - 2^{x}}{b + 2^{x}}$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，所以$f(0)=\frac{a - 1}{b + 1}=0$，解得$a = 1$，所以$f(x)=\frac{1 - 2^{x}}{b + 2^{x}}$.因为$f(-1)=\frac{1-\frac{1}{2}}{b+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{b+\frac{1}{2}}$，$f(1)=\frac{1 - 2}{b + 2}=\frac{-1}{b + 2}$，由奇函数的定义可得$f(-1)=-f(1)$，可得$\frac{1}{2b + 1}=\frac{1}{b + 2}$，解得$b = 1$，故$a = b = 1$，则$f(x)=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$.下面验证函数$f(x)=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$为奇函数，因为函数$f(x)=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(-x)=\frac{1 - 2^{-x}}{1 + 2^{-x}}=\frac{2^{x}(1 - 2^{-x})}{2^{x}(1 + 2^{-x})}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x)$，即函数$f(x)=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$为奇函数，因此，$a = b = 1$满足题意.
(2)函数$f(x)=\frac{2}{1 + 2^{x}}-1$为$\mathbf{R}$上的减函数，理由如下：任取$x_{1},x_{2}\in\mathbf{R}$，且$x_{1}＞x_{2}$，则$2^{x_{1}}＞2^{x_{2}}＞0$，所以$f(x_{1})-f(x_{2})=(\frac{2}{1 + 2^{x_{1}}}-1)-(\frac{2}{1 + 2^{x_{2}}}-1)=\frac{2}{1 + 2^{x_{1}}}-\frac{2}{1 + 2^{x_{2}}}=\frac{2(2^{x_{2}}-2^{x_{1}})}{(1 + 2^{x_{1}})(1 + 2^{x_{2}})}＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，故函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上为减函数.
(3)存在$t\in[0,4]$，使$f(k + t^{2})+f(4k - 2t^{2})＜0$，则$f(k + t^{2})＜-f(4k - 2t^{2})=f(2t^{2}-4k)$，所以$k + t^{2}＞2t^{2}-4k$，则$k＞\frac{t^{2}}{5}$，由题意可得$k＞(\frac{t^{2}}{5})_{\min}=0$，因此，实数$k$的取值范围是$(0,+\infty)$.

14. 【题型三、五】(2025·黑龙江大庆第一中学期中)已知函数$f(x)=1-\frac{2}{2^{x}+1}$.
(1)判断函数$f(x)$的奇偶性；
(2)若$x\in[-1,1]$，求$f(x)$的值域；
(3)若对任意的$x\in[-1,1]$，不等式$f(x)\leq2^{x}+a$恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 14.解：
(1)$f(x)=1-\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}$，函数的定义域为$\mathbf{R}$，则$f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数.
(2)因为$y = 2^{x}+1$是$\mathbf{R}$上的增函数，所以$y=\frac{2}{2^{x}+1}$是$\mathbf{R}$上的减函数，所以$f(x)=1-\frac{2}{2^{x}+1}$是$[-1,1]$上的增函数，所以$f(x)_{\min}=f(-1)=-\frac{1}{3}$，$f(x)_{\max}=f(1)=\frac{1}{3}$，所以$f(x)$的值域为$[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$.
(3)对任意的$x\in[-1,1]$，不等式$f(x)\leqslant2^{x}+a$恒成立，转化为$a\geqslant f(x)-2^{x}$在$[-1,1]$上恒成立，又$f(x)-2^{x}=1-\frac{2}{2^{x}+1}-2^{x}=2-\frac{2}{2^{x}+1}-(2^{x}+1)$，令$t = 2^{x}+1$，$x\in[-1,1]$，则$t\in[\frac{3}{2},3]$，$g(t)=2-\frac{2}{t}-t$，令$y=\frac{2}{t}+t$，$t\in[\frac{3}{2},3]$，由对勾函数性质得$y=\frac{2}{t}+t$在$[\frac{3}{2},3]$上单调递增，所以$g(t)=2-\frac{2}{t}-t$在$[\frac{3}{2},3]$上单调递减，所以$g(t)_{\max}=g(\frac{3}{2})=2-\frac{4}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{5}{6}$，所以$a\geqslant-\frac{5}{6}$，即实数$a$的取值范围为$[-\frac{5}{6},+\infty)$.

已知奇函数$f(x)=a^{x}+b· a^{-x}(a＞0$，且$a\neq1)$在$[-1,1]$上的最大值为$\frac{8}{3}$，则$a$等于（A）

A.$\frac{1}{3}$或$3$
B.$\frac{1}{2}$或$2$
C.$3$
D.$2$

答案： A 【详解】因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，$f(-x)+f(x)=0$，即$a^{-x}+b· a^{x}+b· a^{-x}=0$，则$(b + 1)(a^{x}+a^{-x})=0$，解得$b=-1$，经检验$b = - 1$符合题意，所以$f(x)=a^{x}-a^{-x}$，当$a＞1$时，函数$y = a^{x}$在$[-1,1]$上单调递增，$y = a^{-x}=(\frac{1}{a})^{x}$在$[-1,1]$上单调递减，所以$f(x)=a^{x}-a^{-x}$在$[-1,1]$上单调递增，所以$f(x)_{\max}=f(1)=a - a^{-1}=\frac{8}{3}$，整理得$3a^{2}-8a - 3 = 0$，解得$a = 3$或$a=-\frac{1}{3}$(舍去)，所以$a = 3$；当$0＜a＜1$时，则函数$y = a^{x}$在$[-1,1]$上单调递减，$y = a^{-x}=(\frac{1}{a})^{x}$在$[-1,1]$上单调递增，所以$f(x)=a^{x}-a^{-x}$在$[-1,1]$上单调递减，所以$f(x)_{\max}=f(-1)=a^{-1}-a=\frac{8}{3}$，整理得$3a^{2}+8a - 3 = 0$，解得$a=\frac{1}{3}$或$a=-3$(舍去)，所以$a=\frac{1}{3}$.综上，$a=\frac{1}{3}$或$3$.