《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

11. (2025·北京期中)已知函数$f(x)=\frac{x^{2} - x + a}{x + 1}-3x$,函数$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$.
(1)求证:函数$y = f(x)$的图象关于点$P(m,n)$成中心对称,并求$P(m,n)$的坐标;
(2)若函数$y = g(x)$的图象关于点$(1,0)$成中心对称,且$x\geqslant1$时,$g(x)=f(x)+x^{2}$,求函数$g(x)$的解析式.

答案： 11.解：
(1)函数y=f(x)的定义域为$\{x\vert x\neq -1\}，$证法一：$f(x-1)=\frac{(x-1)^{2}-(x-1)+a}{x-1+1}-3(x-1)=\frac{x^{2}-3x+2+a}{x}-3x+3=\frac{a+2}{x}，$所以$f(-x-1)=-\frac{a+2}{x}=-f(x-1)，$所以函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称，其对称中心为P(-1,0).证法二：因为$f(-1+x)+f(-1-x)=\frac{(-1+x)^{2}-(-1+x)+a}{-1+x+1}-3(-1+x)+\frac{(-1-x)^{2}-(-1-x)+a}{-1-x+1}-3(-1-x)=\frac{x^{2}-3x+2+a}{x}+3-3x+\frac{x^{2}+3x+2+a}{-x}+3+3x=6-6=0，$所以函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称，其对称中心为P(-1,0).
(2)因为函数y=g(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，所以$g(1)=f(1)+1=\frac{1-1+a}{1+1}-3+1=\frac{a}{2}-2=0，$解得a=4，当$x\geq1$时，$g(x)=\frac{x^{2}-x+4}{x+1}-3x+x^{2}=x^{2}-2x+\frac{6}{x+1}，$当x＜1时，2-x＞1，则$g(2-x)=-g(x)=(2-x)^{2}+2(2-x)-2=x^{2}-2x+\frac{6}{3-x}-2，$所以$g(x)=-x^{2}+2x+\frac{6}{x-3}+2，$综上所述，$g(x)=\begin{cases}\frac{x^{2}-2x+6}{x+1},x\geq1\\-x^{2}+2x+\frac{6}{x-3}+2,x＜1\end{cases}.$

12. (2025·四川德阳外国语学校期末)春节是中华民族的第一大节,在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日,“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审,正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计,如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日,春节民俗活动已走进近200个国家和地区,成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献,至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间,阆中会举行各种传统民俗活动,如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等,这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展,阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目,全年需投入固定成本500万元,若该项目在2025年接待$x$万名游客,则需追加管理及维修成本$g(x)$万元,且
$\begin{cases}x^{2} + 20x + 100,0 \leq x ＜ 40,100x \in \mathbf{N}, \\frac{165}{2}x + \frac{9000}{x} - 1150,40 \leq x \leq 100,100x \in \mathbf{N},\end{cases}$
该游玩项目的每张门票售价为80元.
(1)求2025年该项目的利润$W(x)$(万元)关于游客数量$x$(万人)的函数关系式(利润$=$销售额$-$成本);
(2)当2025年游客数量为多少时,该项目所获利润最大? 最大利润是多少?

答案： $12.$解：　　
$(1)$当$0\leq x＜40$时，$W(x)=80x-500-(x^{2}+20x+100)=-x^{2}+60x-600；$当$40\leq x\leq100$时，$W(x)=80x-500-(\frac{165}{2}x+\frac{9000}{x}-1150)=-\frac{5}{2}x-\frac{9000}{x}+650.$　　
$(2)$当$0\leq x＜40$时，$W(x)=-x^{2}+60x-600=-(x-30)^{2}+300，$当$x=30$时，$W(x)$取得最大值$300；$当$40\leq x\leq100$时，$W(x)=-\frac{5}{2}x-\frac{9000}{x}+650\leq650-2\sqrt{\frac{5}{2}x·\frac{9000}{x}}=650-2\sqrt{22500}=650-300=350，$当且仅当$\frac{5}{2}x=\frac{9000}{x}，$即$x=60$时取等号，所以当$x=60$时，$W(x)$取得最大值$350.$因为$350＞300，$所以当游客数量为$60$万人时，该项目所获利润最大，最大利润为$350$万元$.$