《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

6. 【题型一】“$a=\frac{1}{8}$”是“方程$ax^{2}+x+2=0$有实数解”的（A）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 6.A【详解】若$a = \frac{1}{8}$，对于$ax^2 + x + 2 = 0$有$\Delta = 1 - 4 × \frac{1}{8} × 2 = 0$，即方程有实数解，充分性成立；当$a = 0$时，方程有实数解$x = - 2$，当$a \neq 0$时，若$ax^2 + x + 2 = 0$有实数解，则$\Delta = 1 - 4 × a × 2 \geq 0$，$a \neq 0$，可得$a \leq \frac{1}{8}$且$a \neq 0$，必要性不成立.所以$“a = \frac{1}{8}”$是$“$方程$ax^2 + x + 2 = 0$有实数解$”$的充分不必要条件.

7. 【题型二】(2025·天津阶段练习)已知集合$A=\{x|0＜x＜2\}$，$B=\{x|-1＜x＜a+1\}$，若$x\in A$是$x\in B$成立的一个充分不必要条件，则实数$a$的取值范围是[1, +∞).

答案： 7.$[1, + \infty)$【详解】由$x \in A$是$x \in B$成立的一个充分不必要条件，可知$A \subsetneqq B$，所以$a + 1 \geq 2$，解得$a \geq 1$，所以实数$a$的取值范围是$[1, + \infty)$.

8. 【题型三】求证：“$m＜0$”是“关于$x$的方程$x^{2}-2x+m=0$有一正一负根”的充要条件.

答案： 8.证明：充分性：若$m ＜ 0$，则关于$x$的方程$x^2 - 2x + m = 0$有一正一负根，证明如下：当$m ＜ 0$时，$\Delta = (-2)^2 - 4m = 4 - 4m ＞ 0$，所以方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实根，设两根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1x_2 = m ＜ 0$，所以方程$x^2 - 2x + m = 0$有一正一负根，故充分性成立.必要性：若关于$x$的方程$x^2 - 2x + m = 0$有一正一负根，则$m ＜ 0$，证明如下：设方程$x^2 - 2x + m = 0$的一正一负根分别为$x_1$，$x_2$，则$\begin{cases} \Delta = (-2)^2 - 4m = 4 - 4m ＞ 0, \\ x_1x_2 = m ＜ 0, \end{cases}$所以若关于$x$的方程$x^2 - 2x + m = 0$有一正一负根，则$m ＜ 0$，故必要性成立.所以$“m ＜ 0”$是$“$关于$x$的方程$x^2 - 2x + m = 0$有一正一负根$”$的充要条件.

1. 命题“$\forall x\in [1,2]$，$x^{2}-a\leqslant 0$”为真命题的一个充分不必要条件是（D）

A.$a\leqslant 4$
B.$a\geqslant 4$
C.$a\leqslant 5$
D.$a\geqslant 5$

答案： 1.D【详解】求解命题$“\forall x \in [1,2],x^2 - a \leq 0”$为真命题时$a \geq 4$，即可根据真子集求解，命题$“\forall x \in [1,2],x^2 - a \leq 0”$为真命题，则$a \geq x^2$对$\forall x \in [1,2]$恒成立，所以$a \geq (x^2)_{\max}$，故$a \geq 4$，所以命题$“\forall x \in [1,2],x^2 - a \leq 0”$为真命题的充分不必要条件需要满足是$\{a\vert a \geq 4\}$的真子集即可，由于$\{a\vert a \geq 5\}$是$\{a\vert a \geq 4\}$的真子集，故符合.

2. 已知集合$P=\{x|1\leqslant x\leqslant 2\}$，集合$S=\{x|1-m\leqslant x\leqslant 1+m\}$.
(1) 是否存在实数$m$，使$x\in P$是$x\in S$的充分条件？若存在，求出$m$的取值集合；若不存在，请说明理由.
(2) 是否存在非负实数$m$，使$x\in P$是$x\in S$的必要条件？若存在，求出$m$的取值集合；若不存在，请说明理由.

答案： 2.解：
(1)要使$x \in P$是$x \in S$的充分条件，需使$P \subseteq S$，即$\begin{cases}1 - m \leq 1, \\ 1 + m \geq 2, \end{cases}$解得$m \geq 1$，$\therefore$实数$m$的取值集合为$\{m\vert m \geq 1\}$.
(2)由题知，$m \geq 0$，故$S \neq \varnothing$，要使$x \in P$是$x \in S$的必要条件，需使$S \subseteq P$，$\therefore \begin{cases}1 - m \geq 1, \\ 1 + m \leq 2, \end{cases}$解得$m \leq 0$，$\therefore m = 0$即非负实数$m$的取值集合为$\{0\}$.