《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 已知$\log_{2}m - \log_{2}n = 1$，则（D）

A.$mn = 2$
B.$m - n = 2$
C.$2m = n$
D.$m = 2n$

答案： 1. D 【详解】$\log_2 m - \log_2 n = \log_2 \frac{m}{n} = 1$, 所以$\frac{m}{n} = 2$, 即$m = 2n$.

2. 若$\log_{15}3 = a$，$15^{b} = 2$，则$\log_{5}36 =$$\frac{2a+2b}{1-a}$（用含$a$，$b$的代数式表示）。

答案： 2. $\frac{2a + 2b}{1 - a}$ 【详解】$a = \log_{15} 3 = \frac{\ln 3}{\ln 3 + \ln 5}$, $b = \log_{15} 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3 + \ln 5}$, 所以$\frac{1}{a} = 1 + \log_3 5$, $\frac{1}{b} = \log_2 3 + \log_2 5 = \frac{\log_{15} 3}{\log_{15} 2} + \log_2 5$, 所以$\log_3 5 = \frac{a}{1 - a}$, $\log_2 3 = \frac{b}{1 - a}$, $\log_5 36 = 2 \log_5 6 = 2(\log_5 2 + \log_5 3)$, 所以$\log_5 36 = 2 \log_5 6 = 2 \left( \frac{b}{1 - a} + \frac{a}{1 - a} \right) = \frac{2a + 2b}{1 - a}$.

1. 下列函数是对数函数的是（B）

A.$y = \log_{a}(5 + x)(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$
B.$y = \log_{(\sqrt{3} - 1)}x$
C.$y = \log_{3}(-x)$
D.$y = \log_{x}\sqrt{3}(x ＞ 0$，且$x \neq 1)$

答案： 1. B 【详解】根据对数函数$f(x) = \log_a x (a ＞ 0$, 且$a \neq 1)$, 分析选项中函数形式, 知函数$y = \log_{(\sqrt{3}-1)} x$为对数函数.

2. 已知函数：①$y = 4^{x}$；②$y = \log_{x}2$；③$y = \log_{3}x$；④$y = \log_{0.04}x$；⑤$y = \log_{3}x + 1$；⑥$y = \log_{2}(x + 1)$。其中，是对数函数的是（C）

A.①②③
B.③④⑤
C.③④
D.②④⑥

答案： 2. C 【详解】根据对数函数的定义, 易知: ①是指数函数; ②中的自变量在对数的底数的位置, 不是对数函数; ③是对数函数; ④是对数函数; ⑤⑥中函数显然不是对数函数. 由此可知只有③④是对数函数.

3. 函数$f(x) = (a^{2} - a + 1)\log_{(a + 1)}x$是对数函数，则实数$a =$1。

答案： 3. 1 【详解】由题意得$a^2 - a + 1 = 1$, 解得$a = 0$或$1$, 又$a + 1 ＞ 0$且$a + 1 \neq 1$, 所以$a = 1$.

4. 猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物。猪血木不仅实现了人工繁育，在阳江阳春市储备苗木近 10 万株，还被引入到广州、深圳、韶关、云浮等地。某地引入猪血木 1000 株，假设该地的猪血木数量以每年 10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过 2000 株至少需要经过$n(n \in N^{*})$年，则$n$等于（B）（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3$，$\lg 11 \approx 1.04$）

A.9
B.8
C.7
D.6

答案： 4. B 【详解】由题意得$1000(1 + 10\%)^n ＞ 2000$, 则$\left( \frac{11}{10} \right)^n ＞ 2$, 解得$n ＞ \log_{11} 2$. 因为$\log_{11} 2 = \frac{\lg 2}{\lg 11} = \frac{\lg 2}{\lg 11 - \lg 10} = \frac{\lg 2}{\lg 11 - 1} \approx \frac{0.3}{0.04} = 7.5$, 所以$n ＞ 7.5$, 故$n = 8$.

5. 生物学家为了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断。已知土壤中某药品的残留量$y(mg)$与时间$t$（年）近似满足关系式$y = a\log_{2}\frac{12}{t + 1}(a \neq 0)$，其中$a$是残留系数，则大约经过7.5年后，土壤中该药品的残留量是 2 年后残留量的$\frac{1}{4}$。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，答案保留一位小数）

答案： 5. 7.5 【详解】当$t = 2$时, $y = a \log_2 \frac{12}{2 + 1} = 2a$, 由$a \log_2 \frac{12}{t + 1} = \frac{1}{2} a$, 得$t = 6\sqrt{2} - 1 \approx 7.5$.

1. 【题型一】下列函数是对数函数的为（D）

A.$y = \log_{\frac{2}{3}}x^{2}$
B.$y = \log_{3}(x - 1)$
C.$y = \log_{(x + 1)}x$
D.$y = \log_{\pi}x$

答案： 1. D 【详解】根据形如$y = \log_a x (a ＞ 0$, 且$a \neq 1)$的函数是对数函数, 结合选项知$y = \log_a x$为对数函数.

2. 【题型一】若函数$f(x) = (a^{2} - 3a + 3)\log_{a}x$是对数函数，则$a$的值是（C）

A.1 或 2
B.1
C.2
D.$a ＞ 0$且$a \neq 1$

答案： 2. C 【详解】$\because$函数$f(x) = (a^2 - 3a + 3) \log_a x$是对数函数, $\therefore a^2 - 3a + 3 = 1$, 解得$a = 1$或$a = 2$, 又$a ＞ 0$且$a \neq 1$, $\therefore a = 2$.

3. 【题型一、二】已知对数函数的图象过点$M(9, - 2)$，则此对数函数的解析式为（C）

A.$y = \log_{2}x$
B.$y = \log_{3}x$
C.$y = \log_{\frac{1}{3}}x$
D.$y = \log_{\frac{1}{2}}x$

答案： 3. C 【详解】设对数函数为$y = \log_a x$, $M$点的坐标$(9, -2)$代入可得$-2 = \log_a 9 = \log_a a^{-2}$, 所以$a^{-2} = 9$, $\frac{1}{a^2} = 9$, $a = \frac{1}{3}$, 则对数函数的解析式为$y = \log_{\frac{1}{3}} x$.