《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

11.【题型四】函数 $ f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - x + 2 } $ 的值域为(0,4/7].

答案： 11.(0,4/7]【详解】因为二次函数$y = x^{2} - x + 2 = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4}$的值域为$[\frac{7}{4}, + \infty)$,所以$f(x) = \frac{1}{x^{2} - x + 2}$的定义域是$\mathbf{R}$,值域为$(0,\frac{4}{7}]$.

12.【题型一、二】(教材改编题)已知函数 $ f ( x ) = \frac { x + 2 } { x + 1 } $.
(1)求 $ f ( 2 ) + f \left( \frac { 1 } { 2 } \right) $;
(2)判断 $ f ( x ) + f \left( \frac { 1 } { x } \right) $ 是否为定值,并求出 $ f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + ·s + f ( 2023 ) + f \left( \frac { 1 } { 2 } \right) + f \left( \frac { 1 } { 3 } \right) + ·s + f \left( \frac { 1 } { 2023 } \right) $ 的值.

答案： 12.解:
(1)函数$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$,则$f(2) = \frac{2 + 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$,$f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{5}{3}$,所以$f(2) + f(\frac{1}{2}) = 3$.
(2)依题意,得$f(x) + f(\frac{1}{x}) = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{\frac{1}{x} + 2}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{1 + 2x}{1 + x} = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{2x + 1}{x + 1} = \frac{3x + 3}{x + 1} = 3$,所以$f(x) + f(\frac{1}{x})$是定值3,故$f(1) + f(2) + f(3) + ·s + f(2023) + f(\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{3}) + ·s + f(\frac{1}{2023}) = f(1) + [f(2) + f(\frac{1}{2})] + [f(3) + f(\frac{1}{3})] + ·s + [f(2023) + f(\frac{1}{2023})] = 1.5 + 3 × 2022 = 6067.5$.

1. 已知函数 $ f ( x ) = \sqrt { 2 - x } $,则函数 $ g ( x ) = f ( 2 x ) + f ( x ^ { 2 } ) $ 的定义域为 (D)

A.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$
B.$(-\infty,\sqrt{2}]$
C.$[1,\sqrt{2}]$
D.$[-\sqrt{2},1]$

答案： 1.D【详解】由题可知$f(x) = \sqrt{2 - x}$的定义域为$( - \infty,2]$,则为使$g(x) = f(2x) + f(x^{2})$有意义必须且只需$\begin{cases}2x \leq 2,\\x^{2} \leq 2.\end{cases}$解得$- \sqrt{2} \leq x \leq 1$,所以$g(x)$的定义域为$[ - \sqrt{2},1]$.

2. 若函数 $ f ( x ) = \sqrt { a x ^ { 2 } + x + 1 } $ 的值域为 $[0,+\infty)$,则实数 $ a $ 的取值范围为 (C)

A.$\left( 0, \frac { 1 } { 4 } \right]$
B.$\{ 0 \} \cup \left[ \frac { 1 } { 4 }, + \infty \right)$
C.$\left[ 0, \frac { 1 } { 4 } \right]$
D.$\left[ \frac { 1 } { 4 }, + \infty \right)$

答案： 2.C【详解】①$a = 0$时,$f(x) = \sqrt{x + 1}$,值域为$[0, + \infty)$,满足题意;②$a \neq 0$时,若$f(x) = \sqrt{ax^{2} + ax + 1}$的值域为$[0, + \infty)$,则$\begin{cases}a ＞ 0,\\\Delta = a^{2} - 4a \geq 0.\end{cases}$解得$0 ＜ a \leq \frac{1}{4}$.综上,$0 \leq a \leq \frac{1}{4}$