《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

7. 【题型二、三】(1)求值：$125^{-\frac{2}{3}} × (\sqrt{(-10)^2})^2$。
(2)若$\frac{(\sqrt{m})^3}{m^{\frac{7}{2}}} = m^a$，求$a$的值。

答案： 7.解：
(1)原式=$5^3×(-\frac{2}{5})×10^2=\frac{1}{5^2}×100 = 4$。
(2)因为$(\sqrt{m})^{\frac{7}{2}}m^{\frac{7}{2}}=m^{\frac{7}{2}}$，$\frac{(m^{\frac{1}{2}})^3}{m^{\frac{7}{2}}}=m^{\frac{3}{2}-\frac{7}{2}}=m^{-2}$，所以$a = -2$。

8. 【题型二、三】(1)计算：$(\frac{3}{2})^{-\frac{1}{3}} × (-\frac{7}{6})^0 + 8^{\frac{1}{4}} × \sqrt[4]{2} - \sqrt{(-\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}$。
(2)化简：$4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}} ÷ (-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{2}{3}}) × \frac{1}{6}a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$。

答案： 8.解：
(1)$(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}×(-\frac{7}{6})+8^{\frac{1}{3}}×\sqrt[3]{2}-(-\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}=(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}×1+2^4×2^{\frac{1}{4}}-(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}=2$。
(2)$4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}÷(-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}})×\frac{1}{6}a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}=4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}×(-\frac{3}{2}a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}})×\frac{1}{6}a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}=4×(-\frac{3}{2})×\frac{1}{6}a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=-a^{\frac{2}{3}}$。

9. 【题型四】(2025·辽宁沈阳铁西区期中)已知$x - x^{-1} = 2\sqrt{3}(x ＞ 0)$，求下列各式的值：
(1)$\frac{x^2 - x^{-2}}{x^2 + x^{-2}}$；
(2)$\frac{x + x^{-1}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}}$。

答案： 9.解：
(1)由$x - x^{-1}=2\sqrt{3}$，两边平方得$x^2+x^{-2}-2 = 12$，则$x^2+x^{-2}=14$，而$x ＞ 0$，则$x + x^{-1}=\sqrt{x^2+x^{-2}+2}=4$，所以$\frac{x^2 - x^{-2}}{x^2+x^{-2}}=\frac{(x - x^{-1})(x + x^{-1})}{x^2+x^{-2}}=\frac{2\sqrt{3}×4}{14}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$。
(2)由①知，$x + x^{-1}=4$，$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{x + x^{-1}+2}=\sqrt{6}$，所以$\frac{x+x^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

下列说法正确的个数是 (A)
①$49$的平方根为$7$；②$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；③$\sqrt{a^2} = a$；④$\sqrt[6]{(-3)^2} = (-3)^{\frac{1}{3}}$。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： A【详解】49的平方根是$\pm7$，故①错误；$(\sqrt[3]{a})^3=(a^{\frac{1}{3}})^3=a$，故②正确；$\sqrt{a^2}=|a|$，故③错误；$\sqrt[6]{(-3)^2}=3^{\frac{1}{3}}$，故④错误。