《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

7. (2025·安徽合肥月考)函数$ y = x + \frac{1}{x + 2}(x ＞ -2) $的最小值是0。

答案： 7.0　[详解]因为x ＞ - 2，所以x + 2 ＞ 0，则y = x + $\frac{1}{x + 2}$ = x + 2 + $\frac{1}{x + 2}$ - 2 ≥2$\sqrt{(x + 2) · \frac{1}{x + 2}}$ - 2 = 0，当且仅当x + 2 = $\frac{1}{x + 2}$，即x = - 1时取等号.

8. 若$ f(x) = x + \frac{1}{x} $在$ [\frac{1}{3},m) $上的最大值为$ \frac{10}{3} $，则实数 $ m $的最大值为3。

答案： 8.3　[详解]由f(x) = x + $\frac{1}{x}$ - $\frac{10}{3}$可得$3x^{2}$ - 10x + 3 = 0，解得x = $\frac{1}{3}$或x = 3，由对勾函数的单调性可知，函数y = x + $\frac{1}{x}$在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当$\frac{1}{3}$ ＜ m ≤1时，函数f(x)在[$\frac{1}{3}$,m)上单调递减，此时$f(x)_{max}$ = f($\frac{1}{3}$) = $\frac{10}{3}$；当m ＞ 1时，函数f(x)在[$\frac{1}{3}$,1]上单调递减，在(1,m)上单调递增，由题意可得f(m) ≤f
(3) = $\frac{10}{3}$，此时，1 ＜ m ≤3．综上，$\frac{1}{3}$ ＜ m ≤3，因此，实数m的最大值为3．

9. 工厂需要围建一个面积为 $ 512m^{2} $的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁。我们知道，砌起的新墙的总长度 $ y $（单位：m）是利用原有墙壁长度 $ x $（单位：m）的函数。
(1)写出 $ y $关于 $ x $的函数解析式，并确定 $ x $的取值范围；
(2)随着 $ x $的变化，$ y $的变化有何规律？
(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？

答案： 9.解：
(1)由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为$\frac{y - x}{2}$，则$\frac{y - x}{2} · x = 512 \Rightarrow y = x + \frac{1024}{x}(x ＞ 0)$，所以y关于x的函数解析式为y = x + $\frac{1024}{x},x ＞ 0$．
(2)当x ＞ 32时，随着x的增大，y也增大；当32 ＞ x ＞ 0时，随着x的增大，y减小．
(3)由
(2)可知，当x = 32时，y取得最小值，此时y = 64,$\frac{y - x}{2}$ = 16，所以长和宽分别为32,16时最省料，此时长、宽比为2:1．

10. (2025·湖南部分学校联考)通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本 3 万元，每生产 $ x $万件，需要额外投入流动成本 $ P(x) $万元。在年产量不足 5 万件时，$ P(x) = 6x + \frac{18}{2x + 1} - 11 $；在年产量不少于 5 万件时，$ P(x) = 6x + \frac{108}{x^{2}} - 15 $。已知每件产品售价 5 元，且生产的产品在当年可全部售完。
(1)写出年利润 $ W(x) $（万元）关于年产量 $ x $（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？
（注：若 $ a_{i} ＞ 0(i = 1,2,3,·s,n) $，则 $ \frac{a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}·s a_{n}} $，当且仅当 $ a_{1} = a_{2} = ·s = a_{n} $时等号成立）

答案： 10.解：
(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品的销售收入为5x万元，根据题意，当0 ＜ x ＜ 5时，$W(x) = 5x - (6x + \frac{18}{2x + 1} - 11) - 3 = 8 - (x + \frac{18}{2x + 1})$；当x ≥5时，$W(x) = 5x - (6x + \frac{108}{x^{2}} - 15) - 3 = 12 - (x + \frac{108}{x^{2}})$．所以$W(x) = \begin{cases} 8 - (x + \frac{18}{2x + 1}),0 ＜ x ＜ 5, \\ 12 - (x + \frac{108}{x^{2}}),x \geq 5. \end{cases}$
(2)当0 ＜ x ＜ 5时，$W(x) = 8 - (x + \frac{9}{2x + 1} + \frac{9}{2x + 1} - \frac{1}{2}) = 8 - \lbrack(x + \frac{1}{2}) + (\frac{9}{2x + 1}) - \frac{1}{2}\rbrack = \frac{17}{2} - \lbrack(x + \frac{1}{2}) + (\frac{9}{2x + 1})\rbrack \leq \frac{17}{2} - 2\sqrt{(x + \frac{1}{2}) · (\frac{9}{2x + 1})} = \frac{5}{2}$，当且仅当$(x + \frac{1}{2})^{2} = 9$，即$x = \frac{5}{2}$时，$W(x)$有最大值$\frac{5}{2}$；当$x \geq 5$时，$W(x) = 12 - (x + \frac{108}{x^{2}}) = 12 - (\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{108}{x^{2}}) \leq 12 - 3\sqrt[3]{\frac{x}{2} · \frac{x}{2} · \frac{108}{x^{2}}} = 3$，当且仅当$\frac{x}{2} = \frac{108}{x^{2}}$，即$x = 6$时取等号，因为$\frac{5}{2} ＜ 3$，所以当年产量为6万件时，利润最大，最大利润为3万元.