《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

函数 $ f(x)=\frac{1}{\ln (x + 1)}+\sqrt{4 - x^{2}} $ 的定义域为$(-1,0)\cup(0,2]$.

答案： $(-1,0)\cup(0,2]$ 【详解】要使函数$f(x)$有意义，则
$\begin{cases}x + 1＞0,\\x + 1\neq1,\\4 - x^{2}\geq0,\end{cases}$解得$-1＜x\leq2$且$x\neq0$.

1. 已知函数 $ y_{1}=3^{x},y_{2}=\log _{3}x,y_{3}=x^{3} $，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（A）

A.当 $ x\in(0,+\infty) $ 时，函数 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 均为增函数
B.当 $ x\in(0,+\infty) $ 时，$ y_{2} $ 的增长速度一直快于 $ y_{3} $
C.当 $ x\in(0,+\infty) $ 时，$ y_{1} $ 的增长速度一直快于 $ y_{2} $
D.当 $ x\in(0,+\infty) $ 时，$ y_{3} $ 的增长速度一直快于 $ y_{1} $

答案：
1.A 【详解】在同一直角坐标系中画出$y_{1}=3^{x},y_{2}=\log_{3}x,y_{3}=x^{3}$的图象，如图所示.结合图象，当$x\in(0,+\infty)$时，函数$y_{1},y_{2},y_{3}$均为增函数，故A正确；当$x\in(0,+\infty)$时，$y_{2}$的增长速度不是一直快于$y_{3}$，故B错误；当$x\in(0,+\infty)$时，$y_{1}$的增长速度不是一直快于$y_{2}$，故C错误；当$x\in(0,+\infty)$时，$y_{3}$的增长速度不是一直快于$y_{1}$，故D错误.

2. 能使不等式 $ \log _{2}x\lt x^{2}\lt 2^{x} $ 一定成立的 $ x $ 的取值范围是（D）

A.$ (0,+\infty) $
B.$ (2,+\infty) $
C.$ (-\infty,2) $
D.$ (4,+\infty) $

答案：
2.D 【详解】作出函数$y=\log_{2}x,y = x^{2},y = 2^{x}$的图象，如图，由图象可知，当$x＞4$时，$\log_{2}x＜x^{2}＜2^{x}$.

3. 下列函数增长速度最快的是（A）

A.$ y = 1.1^{x} $
B.$ y = 2023x^{2} $
C.$ y=\log _{2023}x $
D.$ y = 2023x $

答案： 3.A 【详解】由函数$y = 1.1^{x}$为定义域内单调递增的指数函数，函数$y = 2023x^{2}$为二次函数，$y=\log_{2023}x$为定义域内单调递增的对数函数，$y = 2023x$为定义域内单调递增的一次函数，根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快.

1. 【题型二】已知 $ a\gt 1 $，则下列正确的是（A）

A.$ \exists x_{0},\forall x\gt x_{0} $，有 $ a^{x}\gt x^{a}\gt\log _{a}x $ 成立
B.$ \exists x_{0},\forall x\gt x_{0} $，有 $ a^{x}\gt\log _{a}x\gt x^{a} $ 成立
C.$ \exists x_{0},\forall x\gt x_{0} $，有 $ x^{a}\gt a^{x}\gt\log _{a}x $ 成立
D.$ \exists x_{0},\forall x\gt x_{0} $，有 $ x^{a}\gt\log _{a}x\gt a^{x} $ 成立

答案： 1.A 【详解】因为$a＞1$，所以函数$y = a^{x},y = x^{a},y=\log_{a}x$均为增函数，且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数.所以$\exists x_{0},\forall x＞x_{0}$，有$a^{x}＞x^{a}＞\log_{a}x$成立.

2. 【题型三】一组实验数据如下表：

则体现这些数据的最佳函数模型是（C）

A.$ y = x^{\frac{1}{2}} $
B.$ y=\log _{2}x $
C.$ y=\frac{2^{x}}{3} $
D.$ y=\frac{1}{2}x^{2} $

答案： 2.C 【详解】观察表中数据，知$y$随$x$的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，B中的函数增长速度越来越慢，A，B不正确；对于C，当$x = 6$时，$y\approx21.33$；对于D，当$x = 6$时，$y = 18$，误差偏大，C最佳.

3. 【题型二】以下四种说法中，正确的是（D）

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.已知 $ a\gt 1 $，则对任意的 $ x\gt 0,a^{x}\gt\log _{a}x $
C.对任意的 $ x\gt 0,x^{a}\gt\log _{a}x $
D.不一定存在 $ x_{0} $，当 $ x\gt x_{0} $ 时，总有 $ a^{x}\gt x^{a}\gt\log _{a}x $

答案： 3.D 【详解】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，取$a = 1.1,x = 2$，此时$a^{x}=1.1^{2}=1.21＜2=\log_{1.1}2^{1.1}=\log_{1.1}2.14859...$（这里原解析$1.1^{2}＜2＜\log_{1.1}2$表述有误，按正确计算逻辑分析），实际$1.1^{2}=1.21$，$\log_{1.1}2\approx7.27$，$1.21＜2＜7.27$，原解析想表达此情况下幂函数增长慢于一次函数增长慢于对数函数增长，故B错误；对于C，当$0＜a＜1$时，结合图象易知$x^{a}＞\log_{a}x$不恒成立，故C错误；对于D，当$a＞1$时，结合图象易知，一定存在$x_{0}$，使得当$x＞x_{0}$时，总有$a^{x}＞x^{a}＞\log_{a}x$，但若去掉限制条件“$a＞1$”，则结论不成立，故D正确.

4. 【题型一】（多选）下列说法正确的是（AB）

A.函数 $ y=\log _{\frac{1}{5}}x $ 减小的速度越来越慢
B.在指数函数 $ y = a^{x}(a\gt 1) $ 中，当 $ x\gt 0 $ 时，底数 $ a $ 越大，其增长速度越快
C.不存在一个实数 $ m $，使得当 $ x\gt m $ 时，$ 1.1^{x}\gt x^{100} $
D.当 $ a\gt 1,k\gt 0 $ 时，在区间 $ (0,+\infty) $ 内，对任意的 $ x $，总有 $ \log _{a}x\lt kx\lt a^{x} $ 成立

答案：
4.AB 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数$y=\log_{\frac{1}{2}}x$减小的速度越来越慢，故A正确；对于B，由指数函数的性质知，指数函数$y = a^{x}(a＞1)$中，当$x＞0$时，底数$a$越大，其增长速度越快，故B正确；对于C，由指数函数的性质知，当$x$增大时$y = 1.1^{x}$的增长速度越来越快，可以超过幂函数$y = x^{100}$的增长速度，因此一定存在一个实数$m$，使得当$x＞m$时，$1.1^{x}＞x^{100}$，故C不正确；对于D，$y = 2^{x}$，取$a = 2,k = 4$，作出对应函数图象，由图知，在区间$(0,+\infty)$内，对任意的$x$，$\log_{a}x＜kx＜a^{x}$不成立，故D不正确.

5. 【题型二】（多选）函数 $ f(x)=2^{x},g(x)=\log _{\frac{1}{2}}x,h(x)=x^{-1} $，在区间 $ (0,+\infty) $ 上（ABC）

A.$ f(x) $ 的递增速度越来越快
B.$ g(x) $ 的递减速度越来越慢
C.$ h(x) $ 的递减速度越来越慢
D.$ g(x) $ 的递减速度慢于 $ h(x) $ 的递减速度

答案：
5.ABC 【详解】作出三个函数在$(0,+\infty)$上的图象，根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间$(0,+\infty)$上，$f(x)$的递增速度越来越快，故A正确；$g(x)$的递减速度越来越慢，故B正确；$h(x)$的递减速度越来越慢，故C正确；$g(x)$的递减速度快于$h(x)$的递减速度，故D错误.