《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

4. 【题型一】（多选）（2025·吉林长春阶段练习）下列说法正确的是 （BC）

A.命题“$\forall n\in\mathbf{N},6n + 7$为质数”是真命题
B.命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题
C.命题“对任意$x\in\mathbf{R}$，总有$x^{2}+x + 1＞0$”是真命题
D.命题“空集是任何集合的真子集”是真命题

答案： 4.BC【详解】当n = 3时，$6n + 7 = 25$不是质数，故A错误；“梯形的对角线相等”指的是“任意梯形的对角线相等”，是全称量词命题，故B正确；$x^{2}+x + 1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，故C正确；空集是任何非空集合的真子集，故D错误.

5. 【题型四】（2025·黑龙江绥化阶段练习）若命题“存在$x_{0}\in\mathbf{R}$，使$x^{2}-2x - m = 0$”是真命题，则实数$m$的取值范围是 （B）

A.$\{m|m\leq - 1\}$
B.$\{m|m\geq - 1\}$
C.$\{m|-1\leq m\leq1\}$
D.$\{m|m＞-1\}$

答案： 5.B【详解】由题意知命题“存在$x_{0}\in\mathbf{R}$，使$x^{2}-2x - m = 0$”是真命题，即$x^{2}-2x - m = 0$有实数解，故$\Delta=4 + 4m\geqslant0$，
∴$m\geqslant-1$，即实数m的取值范围是$\{m|m\geqslant-1\}$.

6. 【题型四】若命题“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + a＜0$成立”是真命题，则实数$a$的取值范围是 （B）

A.$a\leq1$
B.$a＜1$
C.$a\geq1$
D.$a＞1$

答案： 6.B【详解】因为$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + a＜0$成立，所以$\Delta=4 - 4a＞0$，解得$a＜1$.

7. 【题型四】已知命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，使$2x^{2}+x - a = 0$”为真命题，则实数$a$的最小值为$-\frac{1}{8}$。

答案： 7.$-\frac{1}{8}$【详解】依题意可得$\Delta=1^{2}-4×2×(-a)=1 + 8a\geqslant0$，解得$a\geqslant-\frac{1}{8}$，故a的最小值为$-\frac{1}{8}$.

8. 【题型四】若“$\exists x\in[1,3]$，使得$x^{2}-mx + 4\geq0$成立”为假命题，则实数$m$的取值范围是m＞5。

答案： 8.m＞5【详解】由“$\exists x\in[1,3]$，使得$x^{2}-mx + 4\geqslant0$”为假命题，可得“$\forall x\in[1,3]$，使得$x^{2}-mx + 4＜0$”为真命题，则满足$\begin{cases}5 - m＜0,\\13 - 3m＜0.\end{cases}$解得m＞5，即实数m的取值范围是m＞5.

9. 【题型一、四】已知命题$p:\forall x\in\mathbf{R},2x\neq - x^{2}+m$，命题$q:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x - m - 1 = 0$。
（1）写出命题$\neg p$；
（2）若命题$p$为假命题，命题$q$为真命题，求实数$m$的取值范围。

答案： 9.解：
(1)因为命题$p:\forall x\in\mathbf{R},2x\neq-x^{2}+m$，所以$\neg p:\exists x\in\mathbf{R},2x=-x^{2}+m$.
(2)
∵命题p为假命题，
∴$\neg p$为真命题，即$-x^{2}-2x + m = 0$有实数根，
∴$\Delta=4 + 4m\geqslant0$，
∴$m\geqslant-1$，又
∵命题q为真命题，
∴$x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根，
∴$\Delta=4 + 4(m + 1)\geqslant0$，
∴$m\geqslant-2$，
∴m的取值范围是m≥ - 1.

10. 【题型四】已知命题$p:\forall x\in\mathbf{R},mx^{2}-mx + 1＞0$；命题$q:\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+4mx + 1＜0$。
（1）若命题$q$为真命题，求实数$m$的取值范围；
（2）若命题$p$，$q$中恰有一个为真命题，求实数$m$的取值范围。

答案： 10.解：
(1)由题意可知$\Delta=16m^{2}-4＞0$，解得$m＞\frac{1}{2}$或$m＜-\frac{1}{2}$.
(2)命题p为真命题时，当m = 0时，显然满足，当m≠0时，则$\Delta=m^{2}-4m＜0$，解得0＜m＜4.综上可得，p为真命题时，$0\leqslant m＜4$.当命题p真q假时，$\begin{cases}-\frac{1}{2}\leqslant m\leqslant\frac{1}{2},\\0\leqslant m＜\frac{1}{2}.\end{cases}$解得$0\leqslant m＜\frac{1}{2}$；当命题p假q真时，$\begin{cases}m＜-\frac{1}{2}或m\geqslant\frac{1}{2},\\m＜0或m\geqslant4.\end{cases}$解得$m＜-\frac{1}{2}$或$m\geqslant4$，所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为$m＜-\frac{1}{2}$或$m\geqslant4$或$0\leqslant m＜\frac{1}{2}$.

命题$p:\forall a＞0$，关于$x$的方程$x^{3}+ax + 1 = 0$至多有三个实数根。则$\neg p$是 （D）

A.$\forall a\leq0$，关于$x$的方程$x^{3}+ax + 1 = 0$至多有三个实数根
B.$\forall a＞0$，关于$x$的方程$x^{3}+ax + 1 = 0$至少有四个实数根
C.$\exists a＞0$，关于$x$的方程$x^{3}+ax + 1 = 0$至多有三个实数根
D.$\exists a＞0$，关于$x$的方程$x^{3}+ax + 1 = 0$至少有四个实数根

答案： D【详解】首先改变量词，其次“至多有三个”的否定是“至少有四个”.