《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

3. 【题型一】在同一直角坐标系中，函数$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$，$g(x)=x^{a}(x\geq0)$的部分图象可能是（C）

答案： 3.C 【详解】对于A和B，指数函数$f(x)=a^{x}$过定点$(0,1)$，且递增，则$a＞1$，所以幂函数$g(x)=x^{\alpha}$在$x\geqslant0$时单调递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合；对于C和D，指数函数$f(x)=a^{x}$过定点$(0,1)$，且单调递减，则$0＜a＜1$，所以幂函数$g(x)=x^{\alpha}$在$x\geqslant0$时单调递增，且增加得越来越慢，故C符合.

4. 【题型三】函数$f(x)=\sqrt{(\frac{1}{2})^{x}-8}+\frac{1}{2x + 10}$的定义域为（D）

A.$[-3,+\infty)$
B.$(-\infty,-3]$
C.$(-\infty,-5)\cup(-5,-3)$
D.$(-\infty,-5)\cup(-5,-3]$

答案： 4.D 【详解】由题意知$\begin{cases}(\frac{1}{2})^{x}-8\geqslant0,\\2x + 10\neq0,\end{cases}$解得$x\leqslant-3$且$x\neq - 5$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-5)\cup(-5,-3]$.

5. 【题型一、三】函数$f(x)=\frac{x^{2}}{3 - 3^{\vert x\vert}}$的大致图象是（D）

答案： 5.D 【详解】由$f(x)=\frac{x^{2}}{3 - 3^{\vert x\vert}}$知$x\neq\pm1$，$f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{3 - 3^{\vert -x\vert}}=\frac{x^{2}}{3 - 3^{\vert x\vert}}=f(x)$，该函数为偶函数，故A，C错误，$f(2)=\frac{4}{3 - 9}＜0$，故B错误.

6. 【题型四】(2025·黑龙江大庆第一中学期中)已知$a = 2^{0.1}$，$b = (\frac{1}{3})^{0.1}$，$c = (\frac{1}{2})^{-2}$，则实数$a,b,c$的大小关系是（A）

A.$c＞a＞b$
B.$c＞b＞a$
C.$a＞c＞b$
D.$a＞b＞c$

答案： 6.A 【详解】$c=(\frac{1}{2})^{-2}=2^{2}=4$.对于$a = 2^{0.1}$和$b=(\frac{1}{3})^{0.1}$，因为函数$y = x^{0.1}$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$2＞\frac{1}{3}$，所以$2^{0.1}＞(\frac{1}{3})^{0.1}$，即$a＞b$.比较$a$和$c$的大小，$y = 2^{x}$是增函数，$a =2^{0.1}＜2^{1}=2＜4 = c$，故$c＞a＞b$.

7. 【题型一、五】(2025·黑龙江龙东联盟期中)已知函数$f(x)=\begin{cases}(a - \frac{1}{2})x - 2a + 1,x＜1,\\a^{x},x\geq1\end{cases}(a＞0$且$a\neq1)$在$\mathbf{R}$上单调递减，则实数$a$的取值范围为（A）

A.$(0,\frac{1}{4}]$
B.$[\frac{1}{4},\frac{1}{2})$
C.$[\frac{1}{4},1)$
D.$(0,\frac{1}{2})$

答案： 7.A 【详解】由题知$\begin{cases}a-\frac{1}{2}＜0,\\0＜a＜1,\\a-\frac{1}{2}-2a + 1\geqslant a,\end{cases}$解得$0＜a\leqslant\frac{1}{4}$.

8. 【题型五】(2025·辽宁名校协作体期中)已知函数$f(x)=2^{x}-(\frac{1}{2})^{x}+1$，若$f(a^{2})+f(a - 2)＜2$，则实数$a$的取值范围是（A）

A.$(-2,1)$
B.$(-1,2)$
C.$(-\infty,1)$
D.$(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$

答案： 8.A 【详解】令$g(x)=2^{x}-(\frac{1}{2})^{x}$，其定义域为$\mathbf{R}$，$g(-x)=2^{-x}-(\frac{1}{2})^{-x}=(\frac{1}{2})^{x}-2^{x}=-g(x)$，所以$g(x)$为定义域内的奇函数，函数$y = 2^{x}$和$y=-(\frac{1}{2})^{x}$在$\mathbf{R}$上都单调递增，则$g(x)=2^{x}-(\frac{1}{2})^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，$f(x)=g(x)+1$，则$f(a^{2})+f(a - 2)＜2$，即$g(a^{2})+g(a - 2)＜0$，即$g(a^{2})＜-g(a - 2)=g(2 - a)$，所以$a^{2}＜2 - a$，解得$-2＜a＜1$，故实数$a$的取值范围是$(-2,1)$.

9. 【题型三】(2025·吉林长春期中)函数$f(x)=9^{x}-2·3^{x}+3$在$[-1,2]$上的值域为[2,66].

答案： 9.$[2,66]$ 【详解】设$t = 3^{x}$，由于$-1\leqslant x\leqslant2$，所以$t\in[\frac{1}{3},9]$，所以$y=t^{2}-2t + 3=(t - 1)^{2}+2$，$(\frac{1}{3} \leqslant t\leqslant9)$，根据二次函数的性质可知，当$t = 1$时，$f(x)$取得最小值$2$，对应$x = 0$；当$t = 9$时，$f(x)$取得最大值$(9 - 1)^{2}+2 = 66$，所以$f(x)$取得的值域为$[2,66]$.

10. 【题型二】已知函数$f(x)=a^{x + m}+n(a＞0$，且$a\neq1)$的图象经过定点$(-1,1)$，则$m + n=$1.

答案： 10.1 【详解】$\because$函数$f(x)=a^{x + m}+n(a＞0$，且$a\neq1)$的图象经过定点$(-1,1)$，$\therefore\begin{cases}-1 + m = 0,\\1 + n = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 0.\end{cases}$ $\therefore m + n = 1$.

11. 【题型五】已知幂函数$f(x)$经过点$(2,8)$，函数$g(x)=3^{x}-3^{-x}+f(x)$满足$g(2m)+g(m^{2})＜0$，则实数$m$的取值范围是(-2,0).

答案： 11.$(-2,0)$ 【详解】设幂函数$f(x)=x^{\alpha}$经过点$(2,8)$，得$2^{\alpha}=8$，所以$\alpha = 3$，即$f(x)=x^{3}$，故$g(x)=3^{x}-3^{-x}+x^{3}$，因为$g(-x)=3^{-x}-3^{x}+(-x)^{3}=-g(x)$，且定义域为$\mathbf{R}$，所以$g(x)=3^{x}-3^{-x}+x^{3}$是奇函数，又由于$y = 3^{x}$是$\mathbf{R}$上的增函数，$y = 3^{-x}$是$\mathbf{R}$上的减函数，$y = x^{3}$是$\mathbf{R}$上的增函数，所以$g(x)=3^{x}-3^{-x}+x^{3}$是$\mathbf{R}$上的增函数，再由$g(2m)+g(m^{2})＜0$，得$g(2m)＜-g(m^{2})=g(-m^{2})$，所以$2m＜-m^{2}$，解得$-2＜m＜0$.

12. 【题型五】已知$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x)+g(x)=\frac{1}{2^{x}}$.
(1)求函数$g(x)$的解析式；
(2)若关于$x$的不等式$2g(x)+\frac{a}{2^{x}}-1 - a\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 12.解：
(1)因为$f(x)+g(x)=\frac{1}{2^{x}}$①，所以$f(-x)+g(-x)=\frac{1}{2^{-x}}=2^{x}$.又$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，则有$-f(x)+g(x)=2^{x}$②，由①+②得$2g(x)=2^{x}+\frac{1}{2^{x}}$，所以$g(x)=\frac{1}{2}(2^{x}+\frac{1}{2^{x}})$.
(2)由
(1)知，$2^{x}+\frac{1}{2^{x}}-1 - a\geqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，$2^{x}+\frac{1}{2^{x}}-1\geqslant a·\frac{a}{2^{x}}$，因为$x\in(0,+\infty)$，所以$0＜\frac{1}{2^{x}}＜1$，$1-\frac{1}{2^{x}}＞0$，所以$a\leqslant\frac{2^{x}}{2^{x}-1}=\frac{(2^{x})^{2}-2^{x}+1}{2^{x}-1}=2^{x}+\frac{1}{2^{x}-1}=2^{x}-1+\frac{1}{2^{x}-1}+1$，又$x\in(0,+\infty)$，所以$2^{x}-1＞0$，故$2^{x}-1+\frac{1}{2^{x}-1}+1\geqslant2\sqrt{(2^{x}-1)×\frac{1}{2^{x}-1}}+1 = 3$，当且仅当$2^{x}-1=\frac{1}{2^{x}-1}$，即$x = 1$时，等号成立，所以$a\leqslant3$，故实数$a$的取值范围为$(-\infty,3]$.