《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (多选)已知函数$f(x)=-2x^{2}+ax$在区间$(-1,2)$上不具有单调性,则$a$的值可以是（BD）

A.9
B.-1
C.-5
D.0

答案： 1.BD　[详解]由题意得$f(x)= -2x^{2}+ax$图象的对称轴为直线$x= -\frac{a}{2×(-2)}=\frac{a}{4}$，由于$f(x)= -2x^{2}+ax$在区间$(-1,2)$上不具有单调性，故$-1＜\frac{a}{4}＜2$，解得$-4＜a＜8$，所以A,C错误，B,D正确.

2. (2025·吉林长春期中)函数$y=x^{2}-2x+3$在$x∈[1,3]$上的最大值是6.

答案： 2.6　[详解]因为二次函数$y= x^{2}-2x + 3$的图象开口向上，对称轴为直线$x = 1$，所以函数$y= x^{2}-2x + 3$在区间$[1,3]$上单调递增，则函数$y= x^{2}-2x + 3$的最大值在$x = 3$时取到，即$y= 3^{2}-2×3 + 3 = 6$，所以函数$y= x^{2}-2x + 3$在$x\in[1,3]$上的最大值是6.

1. 函数$f(x)=2x+\frac{1}{x}$（A）

A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数

答案： 1.A　[详解]$f(x)= 2x+\frac{1}{x}$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，又$f(-x)= -f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数不是偶函数，故选A.

2. 下列函数是偶函数的是（B）

A.$y=x+\frac{1}{x}$
B.$y=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$
C.$y=x^{-\frac{1}{2}}$
D.$y=\sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}$

答案： 2.B　[详解]对于A，$y= x+\frac{1}{x}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$-x+\frac{1}{-x}= -(x+\frac{1}{x})$，$y= x+\frac{1}{x}$是奇函数，故A不是偶函数；对于B，$y= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$(-x)^{2}+\frac{1}{(-x)^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，$y= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$是偶函数，故B是偶函数；对于C，$y= x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$(0,+\infty)$，不是偶函数，故C不是偶函数；对于D，$y= \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}$的定义域为$\{1\}$，不是偶函数，故D不是偶函数.

3. (2025·吉林长春市实验中学期中)函数$f(x)=\begin{cases}x - 3,x\geq0,\\x + 3,x\lt0\end{cases}$（C）

A.是奇函数
B.是偶函数
C.既非奇函数也非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数

答案： 3.C　[详解]作出函数图象，由于$f(0)= -3$，所以函数图象不关于原点对称，由图可知函数图象不关于$y$轴对称，故$f(x)$为非奇非偶函数.

4. 若$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,当$x\gt0$时,$f(x)=x^{2}-6x$,则$f(-1)$等于（C）

A.-7
B.-5
C.5
D.7

答案： 4.C　[详解]因为$f(x)$为奇函数，且当$x＞0$时，$f(x)= x^{2}-6x$，所以当$x＜0$时，$f(x)= -f(-x)= -[(-x)^{2}-6(-x)]= -x^{2}-6x$，所以$f(-1)= -1 + 6 = 5$.

5. 若$f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$为奇函数,则$a$的值为（C）

A.0
B.1
C.-1
D.1或-1

答案： 5.C　[详解]因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)= -f(x)$，即$\frac{(-x + 1)(-x + a)}{-x}= -\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$，显然$x\neq0$，整理得$x^{2}-(a + 1)x + a= x^{2}+(a + 1)x + a$，即$2(a + 1)x = 0$.该式对任意$x\neq0$恒成立，故$a + 1 = 0$，解得$a= -1$.

6. (2025·吉林省吉林市第一中学月考)设$f(x)=-x^{3}+(a - 2)x^{2}+x$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数,则$a$等于（B）

A.1
B.2
C.0
D.-2

答案： 6.B　[详解]因为$f(x)= -x^{3}+(a - 2)x^{2}+x$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(-1)= -f(1)$，即$-(-1)^{3}+(a - 2)(-1)^{2}+(-1)= -[-1^{3}+(a - 2)+1]$，故$a = 2$，此时$f(x)= -x^{3}+x$，所以$f(-x)= -(-x)^{3}+(-x)=x^{3}-x= -(-x^{3}+x)= -f(x)$，满足$f(x)= -x^{3}+(a - 2)x^{2}+x$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$a = 2$.

1. 【题型一】已知函数$f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$,则$f(x)$（B）

A.是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数
B.是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数
C.是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数
D.是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数

答案： 1.B　[详解]$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，$f(-x)= -(x^{3}-\frac{1}{x^{3}})= -f(x)$，即函数$f(x)$为奇函数.当$x＞0$时，$y= x^{3}$为增函数，$y= \frac{1}{x^{3}}$为减函数.故函数$f(x)= x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$在$x＞0$时为增函数.

2. 【题型三】(2025·黑龙江佳木斯期末)已知函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数,当$x\leq0$时,$f(x)=3x^{2}+2x+2$,则$f(\frac{3}{2})$的值为（D）

A.$\frac{47}{4}$
B.$-\frac{47}{4}$
C.$\frac{23}{4}$
D.$-\frac{23}{4}$

答案： 2.D　[详解]依题意，函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，所以$f(\frac{3}{2})= -f(-\frac{3}{2})= -[3×(-\frac{3}{2})^{2}+2×(-\frac{3}{2})+2]= -\frac{23}{4}$.

3. 【题型一】(2025·黑龙江哈尔滨期中)函数$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{6}+1}$的部分图象大致为（B）

答案： 3.B　[详解]由题知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=\frac{(-x)^{2}-1}{(-x)^{6}+1}=\frac{x^{2}-1}{x^{6}+1}=f(x)$，所以函数$f(x)$为偶函数，排除C,D，令$x = 0$，得$f(0)= -1＜0$，排除A，故B正确.