《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

14. 【题型二】问题:已知 $ a,b,c $ 均为正实数,且 $ a + b + c = 1 $,求证: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 $.
证明: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})(a + b + c) = 3 + (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) + (\frac{c}{b} + \frac{b}{c}) \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9 $,当且仅当 $ a = b = c = \frac{1}{3} $ 时,等号成立.
学习上述解法并解决下列问题:
(1)若实数 $ a,b,x,y $ 满足 $ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $,试比较 $ a^{2} - b^{2} $ 和 $ (x - y)^{2} $ 的大小,并说明理由;
(2)求 $ M = \sqrt{4m - 3} - \sqrt{m - 1} $ 的最小值,并求出使得 $ M $ 最小的 $ m $ 的值.

答案： 14.解：
(1)$a^{2}-b^{2}\leqslant(x - y)^{2}$，理由如下：因为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，所以$a^{2}-b^{2}=(a^{2}-b^{2})\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)=x^{2}+y^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}-\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}\leqslant x^{2}+y^{2}-2\sqrt{\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}·\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}}=x^{2}+y^{2}-2xy=(x - y)^{2}$，当且仅当$\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}$，即$a^{2}y = b^{2}x$时，等号成立，所以$a^{2}-b^{2}\leqslant(x - y)^{2}$。
(2)令$x=\sqrt{4m - 3}$，$y=\sqrt{m - 1}$，则$x^{2}-4y^{2}=1$，即$x^{2}-\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，所以$a^{2}=1$，$b^{2}=\frac{1}{4}$，则$M=\sqrt{4m - 3}-\sqrt{m - 1}=x - y\geqslant\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当$\begin{cases}x = 2y,\\x^{2}-4y^{2}=1,\end{cases}$即$\begin{cases}x=\frac{2\sqrt{3}}{3},\\y=\frac{\sqrt{3}}{6}\end{cases}$时，等号成立，此时$\sqrt{4m - 3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得$m=\frac{13}{12}$，所以当$m=\frac{13}{12}$时，$M$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

1. 已知 $ x ＞ 5 $,则 $ \frac{1}{5 - x} - x $ 的最大值是-7.

答案： 1.-7 [详解]$\frac{1}{5 - x}-x=-\left(x+\frac{1}{x - 5}\right)=-\left[(x - 5)+\frac{1}{x - 5}+5\right]$，因为$x＞5$，所以$x - 5＞0$，$\frac{1}{x - 5}＞0$，由基本不等式得$(x - 5)+\frac{1}{x - 5}\geqslant2\sqrt{(x - 5)·\frac{1}{x - 5}}=2$，当且仅当$x - 5=\frac{1}{x - 5}$，即$x = 6$时，等号成立，故$\frac{1}{5 - x}-x=-\left[(x - 5)+\frac{1}{x - 5}+5\right]\leqslant - 7$，即原式的最大值为$-7$。

2. 对任意的正实数 $ a,b,c $,且满足 $ b + c = 2 $,则 $ \frac{3ab^{2} + 4a}{bc} + \frac{18}{a + 1} $ 的最小值为$12\sqrt{3}-6$.

答案： 2.$12\sqrt{3}-6$ [详解]由$a$，$b$，$c$是正实数，且$b + c = 2$可得$\frac{3ab^{2}+4a}{bc}+\frac{18}{a + 1}=\frac{a(3b^{2}+4)}{bc}+\frac{18}{a + 1}=\frac{a[3b^{2}+(b + c)^{2}]}{bc}+\frac{18}{a + 1}=\frac{a(4b^{2}+c^{2}+2bc)}{bc}+\frac{18}{a + 1}=a\left(\frac{4b}{c}+\frac{c}{b}+2\right)+\frac{18}{a + 1}\geqslant a(2\sqrt{\frac{4b}{c}·\frac{c}{b}}+2)+\frac{18}{a + 1}=6a+\frac{18}{a + 1}$，当且仅当$\frac{4b}{c}=\frac{c}{b}$，即$b=\frac{2}{3}$，$c=\frac{4}{3}$时，等号成立。又$6a+\frac{18}{a + 1}=6(a + 1)+\frac{18}{a + 1}-6\geqslant2\sqrt{6(a + 1)·\frac{18}{a + 1}}-6 = 12\sqrt{3}-6$，当且仅当$6(a + 1)=\frac{18}{a + 1}$，即$a=\sqrt{3}-1$时，等号成立。所以当$a=\sqrt{3}-1$，$b=\frac{2}{3}$，$c=\frac{4}{3}$时，等号成立，此时$\frac{3ab^{2}+4a}{bc}+\frac{18}{a + 1}$的最小值为$12\sqrt{3}-6$。