《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

6. 【题型四】已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{-x},x\leq0,\\\ln\frac {1}{x},x＞0,\end{cases}g(x)=f(x)-x-a$，若$g(x)$有 2 个零点，则实数$a$的取值范围是（C）

A.$[-1,0)$
B.$[0,+\infty)$
C.$[1,+\infty)$
D.$[-1,+\infty)$

答案：
C　[详解]令$g(x)=0$可得$f(x)=x + a$，作出函数$y = f(x)$与函数$y = x + a$的图象如图所示，当$a\geq1$时，函数$y = f(x)$与函数$y = x + a$的图象有2个交点，此时，函数$y = g(x)$有2个零点.因此，实数$a$的取值范围是$[1,+\infty)$.

7. 【题型六】已知函数$f(x)=2^{x}+x,g(x)=log_{2}x+x,h(x)=x^{3}+x$的零点分别为$a,b,c$，则$a,b,c$的大小关系为（B）

A.$a＞b＞c$
B.$b＞c＞a$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞a＞c$

答案： B　[详解]由题意得$f(x)=2^x + x$，$h(x)=x^3 + x$在$\mathbf{R}$上单调递增，$g(x)=\log_2x + x$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$f(-1)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}＜0$，$f(0)=1＞0$，故$a\in(-1,0)$，$g(1)=1＞0$，$g(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}＜0$，故$b\in(\frac{1}{2},1)$，$h(0)=0$，故$c = 0$，故$b＞c＞a$.

8. 【题型六】已知函数$f(x)=4^{x}+log_{2}x,x_{0}$为$f(x)=0$的根，下列说法正确的是（D）

A.$x_{0}\in(0,\frac {1}{8})$
B.$x_{0}\in(\frac {1}{8},\frac {1}{4})$
C.$f(x)＞0$的解集为$(0,x_{0})$
D.$f(x)＞0$的解集为$(x_{0},+\infty)$

答案： D　[详解]因为$f(x)=4^x+\log_2x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$至多有一个零点，又$f(\frac{1}{8})=4^{\frac{1}{8}}+\log_2\frac{1}{8}=2^{\frac{1}{2}}+\log_22^{-3}=2^{\frac{1}{2}} - 3＜0$，又$x_0$为$f(x)=0$的根，所以$x_0\notin(0,\frac{1}{8})$，故A错误；又$f(\frac{1}{4})=4^{\frac{1}{4}}+\log_2\frac{1}{4}=2^{\frac{1}{2}}+\log_22^{-2}=2^{\frac{1}{2}}-2＜0$，所以$x_0\notin(\frac{1}{8},\frac{1}{4})$，故B错误；由$f(x)＞0$，可得$x＞x_0$，故C错误，D正确.

9. 【题型六】（2025·湖北部分高中联考期中）对于函数$y = f(x)$，若存在$x_{0}$，使得$f(x_{0})=-f(-x_{0})$，则称点$(x_{0},f(x_{0}))$与点$(-x_{0},f(-x_{0}))$是函数$f(x)$的一对“隐对称点”，若函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+4x,x\leq0,\\kx + 1,x＞0\end{cases}$的图象存在“隐对称点”，则实数$k$的取值范围是（A）

A.$(-\infty,2]$
B.$[2,6]$
C.$[6,+\infty)$
D.$(-\infty,2]\cup[6,+\infty)$

答案： A　[详解]设$g(x)$为奇函数，且当$x＞0$时，$g(x)=kx + 1$，则$x＜0$时，$g(x)=kx - 1$，则原问题转化为方程$x^2 + 4x = kx - 1$在$(-\infty,0)$上有解，求$k$的取值范围.由$x^2-(k - 4)x + 1 = 0$在$(-\infty,0)$有解，得$\begin{cases}\Delta\geq0\\-\frac{-(k - 4)}{2}＜0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(k - 4)^2\geq4\\k＜4\end{cases}\Rightarrow k\leq2$.

10. 【题型五】函数$f(x)=2x - 1$，则函数$y = f(x)$的零点个数为1。

答案： 1　[详解]因为函数$f(x)=2x - 1$在$\mathbf{R}$上单调递增且连续，且$f(0)= - 1＜0$，$f(1)=1＞0$，所以函数$y = f(x)$有1个零点.

11. 【题型四】已知函数$f(x)=\frac {4}{x^{2}}-\frac {2a}{x}+1$在$(1,+\infty)$上有两个零点，则$a$的取值范围是$(2,\frac{5}{2})$。

答案： $(2,\frac{5}{2})$　[详解]由函数$f(x)=\frac{4}{x^2}-\frac{2a}{x}+1$在$(1,+\infty)$上有两个零点，可得$x^2 - 2ax + 4 = 0$在$(1,+\infty)$上有两个根，令$g(x)=x^2 - 2ax + 4$，则$\begin{cases}g(1)=1 - 2a + 4＞0\\\Delta=(-2a)^2 - 4×1×4＞0\\-\frac{-2a}{2×1}＞1\end{cases}$，解得$2＜a＜\frac{5}{2}$，所以$a$的取值范围是$(2,\frac{5}{2})$.

12. 【题型六】（2025·辽宁鞍山第一中学期中）函数$f(x),g(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，其中$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，且$f(x)+g(x)=ax^{2}-x$。
（1）求$f(x)$和$g(x)$的解析式；
（2）若对于任意$x_{1},x_{2}\in[1,2]$，都有$\frac {g(x_{1})-g(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜4$，求实数$a$的取值范围；
（3）$h(x)=f(x)+g(x)+(1 - a)x^{2}-2ax + 4$在$[1,3]$上有两个零点，求实数$a$的取值范围。

答案： 解:
(1)由$f(x)+g(x)=ax^2 - x$，得$f(-x)+g(-x)=ax^2 + x$，两式相加可得$f(x)+f(-x)+g(x)+g(-x)=2ax^2$，又由$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$2g(x)=2ax^2$，即$g(x)=ax^2$，$f(x)= - x$.
(2)若对于任意$2\geq x_1＞x_2\geq1$，都有$\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1 - x_2}＜4$，变形可得$[g(x_1)-4x_1]-[g(x_2)-4x_2]＜0$，令$h(x)=g(x)-4x=ax^2 - 4x$，则$h(x)$在区间$[1,2]$上单调递减.①若$a = 0$，则$h(x)= - 4x$在$[1,2]$上单调递减，满足题意；②若$a\neq0$，则$h(x)=ax^2 - 4x$是对称轴为直线$x=\frac{2}{a}$的二次函数，$h(x)$在区间$[1,2]$上单调递减，$a＜0$或$\begin{cases}a＞0\frac{2}{a}\geq2\end{cases}$.综上，可得$a\leq1$.所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,1]$.
(3)$h(x)=f(x)+g(x)+(1 - a)x^2 - 2ax + 4=x^2-(2a + 1)x + 4 = 0$，函数$h(x)$在$[1,3]$上有两个零点，则$\begin{cases}h(1)=4 - 2a\geq0\\h(3)=10 - 6a\geq0\\1＜\frac{2a + 1}{2}＜3\\\Delta=(2a + 5)(2a - 3)＞0\end{cases}$，解得$\frac{3}{2}＜a\leq\frac{5}{3}$，所以实数$a$的取值范围为$(\frac{3}{2},\frac{5}{3}]$.
[方法总结]　已知函数的零点个数，求参数取值范围的方法:
(1)直接法:利用零点存在的判定构建不等式求解;
(2)数形结合法:将函数的解析式或方程进行适当地变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围;
(3)分离参数法:分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

13. 【题型一、六】已知函数$y = f(x)$，其中$f(x)=|x^{2}-2x - 3|$。
（1）直接写出$f(x)$的零点；
（2）讨论关于$x$的方程$f(x)=k$的解的个数；
（3）若方程$f(x)=k$有四个不同的根$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，直接写出这四个根的和。

答案：
解:
(1)解方程$f(x)=0$，即$|x^2 - 2x - 3|=0$，解得$x = - 1$或$x = 3$，所以函数$y = f(x)$的零点为$-1$和3.
(2)函数$y = f(x)=|x^2 - 2x - 3|$的图象如图.方程$f(x)=k$的解的个数等于函数$y = k$和$y = f(x)$图象的交点个数，如图所示.当$k＜0$时，方程$f(x)=k$无实根；当$k = 0$或$k＞4$时，方程$f(x)=k$有2个实根；当$0＜k＜4$时，方程$f(x)=k$有4个实根；当$k = 4$时，方程有3个实根.
(3)由图象可知，函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，因此$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4$.