《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2000元,设请木工x人,瓦工y人,则请工人的人数满足的关系式是 (D)

A.$5x + 4y ＜ 200$
B.$5x + 4y \geq 200$
C.$5x + 4y = 200$
D.$5x + 4y \leq 200$

答案： 1.D　[详解]依题意，请工人的人数满足的关系式是50x+40y ≤2000，即5x+4y≤200。

2. 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾驶员。此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂,已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,如果设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则满足上述所有关系的不等式组为_______.

答案： $2.\begin{cases}x+y\leqslant 9\\5x+4y\geqslant 30\\0\leqslant x\leqslant 4\\0\leqslant y\leqslant 7\\x,y\in N\end{cases} [$详解]根据题意得，x+y≤9①，10×6x+6×8y≥360，化简为5x+4y≥30②，0≤x≤4③，0≤y≤7④，且x,y∈N⑤。由①②③④⑤组成不等式组，即$\begin{cases}x+y\leqslant 9\\5x+4y\geqslant 30\\0\leqslant x\leqslant 4\\0\leqslant y\leqslant 7\\x,y\in N\end{cases}。$

3. 已知a,b为不相等的实数,记$M = a^2 - ab$,$N = ba - b^2$,则M与N的大小关系为 (A)

A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定

答案： 3.A　[详解]
∵M=a²−ab，N=ba−b²，
∴M−N=a²−ab−ba+b²=(a−b)²，
∵a,b为不相等的实数，
∴(a−b)²＞0，
∴M＞N。

4. 若$x ＜ y ＜ 0$,设$M = (x^2 + y^2)(x - y)$,$N = (x^2 - y^2) · (x + y)$,则M,N的大小关系是M＞N.

答案： 4.M＞N [详解]因为M=(x²+y²)(x−y)，N=(x²−y²)(x+y)，则M−N=(x²+y²)(x−y)−(x²−y²)(x+y)=−2xy(x−y)，且x＜y＜0，则−2xy＜0，x−y＜0，可得M−N=−2xy(x−y)＞0，即M＞N。

5. 已知$a \geq 1$,试比较$M = \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}$和$N = \sqrt{a} - \sqrt{a - 1}$的大小.

答案： 5.解：(方法1)因为a≥1，所以M= $\sqrt{a + 1}$−$\sqrt{a}$＞0，N=$\sqrt{a}$−$\sqrt{a - 1}$＞0。所以$\frac{M}{N}$=$\frac{\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}}$=$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}+\sqrt{a}}$。因为$\sqrt{a + 1}$+$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt{a - 1}$＞0，所以$\frac{M}{N}$＜1，即M＜N。(方法2)因为M=$\sqrt{a + 1}$−$\sqrt{a}$＞0，N=$\sqrt{a}$−$\sqrt{a - 1}$＞0，又$\frac{1}{M}$=$\frac{1}{\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}}$=$\sqrt{a + 1}$+$\sqrt{a}$，$\frac{1}{N}$=$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}}$=$\sqrt{a}$+$\sqrt{a - 1}$，所以$\frac{1}{M}$＞$\frac{1}{N}$＞0，所以M＜N。

6. (2025·黑龙江哈尔滨月考)若$a ＞ b ＞ 0$,$c \in \mathbf{R}$,则 (D)

A.$ac ＞ bc$
B.$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$
C.$a - c ＜ b - c$
D.$a + c ＞ b + c$

答案： 6.D [详解]因为a＞b＞0，c∈R，则当c≤0时，ac≤bc，故A错误；因为a＞b＞0，所以$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$，故B错误；因为a＞b＞0，c∈R，所以a±c＞b±c，故C错误，D正确。

7. (多选)若$a,b,c,d \in \mathbf{R}$,则下列各项正确的是 (BC)

A.若$a ＞ b$,则$ac ＞ bc$
B.若$b ＞ a ＞ 0$,则$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$
C.若$ac^2 ＞ bc^2$,则$a ＞ b$
D.若$a ＞ b$,$c ＞ d$,则$a - c ＞ b - d$

答案： 7.BC　[详解]当c=0时，ac=bc，故A错误；因为b＞a＞0，所以$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，$\frac{b - a}{ab}$＞0，故B正确；因为ac²＞bc²，所以c²＞0，则a＞b，故C正确；当a=2，b=1，c=2，d=1时，a−c=b−d，故D错误。

8. (2025·辽宁葫芦岛期末)“$a ＞ b ＞ 0$”是“$a - \frac{1}{a} ＞ b - \frac{1}{b}$”的 (B)

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 8.B [详解]由a＞b＞0可得$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$，所以a−$\frac{1}{a}$＞b−$\frac{1}{b}$，取a=1，b=-$\frac{1}{2}$，可得a−$\frac{1}{a}$=0＞b−$\frac{1}{b}$=-$\frac{3}{2}$，不满足a＞b＞0，所以“a＞b＞0”是“a−$\frac{1}{a}$＞b−$\frac{1}{b}$”的充分不必要条件。

9. (多选)(2025·辽宁盘锦阶段练习)已知$1 ＜ a ＜ 2$且$-5 ＜ b ＜ 3$,则 (AD)

A.$-4 ＜ a + b ＜ 5$
B.$-1 ＜ a - b ＜ 6$
C.$-5 ＜ ab ＜ 6$
D.$-5 ＜ \frac{b}{a} ＜ 3$

答案： 9.AD　[详解]
∵1＜a＜2且−5＜b＜3，
∴1−5＜a + b＜2+3，即−4＜a + b＜5，故A正确；取a=1.8，b=−4.8，则a−b=6.6＞6，故B错误；取a=1.8，b=−4，则ab=−7.2＜−5，故C错误；
∵1＜a＜2，
∴5＜5a＜10，又−5＜b＜3，
∴0＜b + 5a＜13，
∴$\frac{b}{a}$−(−5)=$\frac{b + 5a}{a}$＞0，−5＜$\frac{b}{a}$，
∵1＜a＜2，
∴−6＜−3a＜−3，又−5＜b＜3，
∴−11＜b−3a＜0，
∴$\frac{b - 3a}{a}$＜0，
∴$\frac{b}{a}$＜3，综上，−5＜$\frac{b}{a}$＜3，故D正确。