《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

7. 【题型一、二】（2025·吉林省普通高中G8 教考联盟期末）计算：$(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}+\lg25+\lg4+7^{\log_{7}2}=$20。

答案： 7.20 [详解]$(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_7 2} = (\frac{1}{4}^3)^{-\frac{2}{3}} + \lg 5^2 + \lg 2^2 + 2 = (\frac{1}{4})^{-2} + 2\lg 5 + 2\lg 2 + 2 = 16 + 2(\lg 5 + \lg 2) + 2 = 16 + 2\lg 10 + 2 = 20$。

8. 【题型一、二、三】（2025·天津五区重点校期末）计算：$\log_{2}\frac{\sqrt{8}}{2}·\log_{7}[3^{\log_{9}7}-(3\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}+7^{\frac{\ln6-\ln2}{\ln7}}]=$$\frac{1}{4}$。

答案： 8.$\frac{1}{4}$ [详解]$\log_2 \frac{\sqrt{8}}{2} · \log_7 [3^{\log_9 7} - (3\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} + 7^{\log_7 2}] = \log_2 2^{\frac{3}{2} - 1} · \log_7 [3^{\frac{1}{2}\log_3 7} - (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} + 2] = \frac{1}{2} × \log_7 (\sqrt{7} - 3 + 3) = \frac{1}{2} × \frac{\ln \sqrt{7}}{\ln 7} × 1 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

9. 【题型一、四】（2025·北京第八中学月考）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。我们可以把$(1 + 1\%)^{365}$看成每天的“进步”率都是$1\%$，一年后是$1.01^{365}\approx37.7834$；而把$(1 - 1\%)^{365}$看成每天“退步”率都是$1\%$，一年后是$0.99^{365}\approx0.0255$；这样，一年后的$1$“进步值”是“退步值”的$\frac{1.01^{365}}{0.99^{365}}\approx1481$倍。那么当“进步值”是“退步值”的$2$倍时，大约经过35天。（参考数据：$\lg101\approx2.0043$，$\lg99\approx1.9956$，$\lg2\approx0.3010$）

答案： 9.35 [详解]设经过$x$天“进步值”是“退步值”的$2$倍，则$2 × 0.99^x = 1.01^x$，即$\frac{1.01^x}{0.99^x} = 2$，$\lg \frac{1.01^x}{0.99^x} = \lg 2$，故$x = \frac{\lg 2}{\lg 1.01 - \lg 0.99} \approx \frac{0.3010}{0.0043 - (-0.0043)} \approx 35$，故大约经过$35$天。

10. 【题型一、二】已知$a^{3}=9$。
（1）求$\log_{3}a$的值；
（2）设$(\frac{1}{2})^{x}=(\frac{4}{3})^{y}=\log_{3}a$，求证：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$。

答案： 10.
(1)解：将$a^3 = 9$两边同取对数得，$\log_3 a^3 = 2$，则$3\log_3 a = 2$，所以$\log_3 a = \frac{2}{3}$。
(2)证明：设$(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{x}} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{y}} = k = \frac{2}{3}$，则$-\frac{1}{x}\ln\frac{1}{2} = \frac{1}{y}\ln\frac{4}{3}$，可得$\frac{1}{x} = \frac{\ln 2}{\ln\frac{2}{3}}$，$\frac{1}{y} = \frac{\ln\frac{4}{3}}{\ln\frac{2}{3}}$，所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \log_{\frac{2}{3}} \frac{1}{2}^{- \frac{1}{x}} × \frac{4}{3}^{\frac{1}{y}} = \log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} = 1$，故$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$。

11. 【题型一、二】（2025·吉林省吉林市第一中学期中）计算下列各值：
（1）$(2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}}-(-2)^{0}-(\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}+(\frac{3}{2})^{-2}$；
（2）$(\log_{4}3+\log_{8}3)×(\log_{3}2+\log_{9}2)-\log_{2}\sqrt[4]{32}$。

答案： 11.解：
(1)原式$= [(\frac{3}{2})^{-1}]^{-1} - [(\frac{2}{3})^{-1}]^{\frac{2}{3}} + [(\frac{2}{3})^{-1}]^{-2} = \frac{3}{2} - 1 - (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3} × (-1)×3} + (\frac{3}{2})^{-2} = \frac{3}{2} - 1 - \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{2}$。
(2)原式$= (\frac{1}{2}\log_2 3 + \frac{1}{3}\log_3 2) × (\log_2 2 + \frac{1}{2}\log_2 3) - \log_2 4^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{6}\log_2 3 × \frac{3}{2} - \frac{5}{4} × 2 = 0$。

12. 【题型二、三、四】（2025·吉林长春吉大附中期末）已知$a$，$b$，$c$为实数，$3^{a}=4^{b}=6^{c}(abc\neq0)$。
（1）求证：$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$；
（2）若不等式$m^{2}+\sqrt{2}\leq\frac{a + b}{c}$，对任意实数$a$，$b$，$c$均成立，求实数$m$的取值范围。

答案： 12.
(1)证明：令$3^a = 4^b = 6^c = t (t ＞ 0$且$t \neq 1)$，则$a = \log_3 t$，$b = \log_4 t$，$c = \log_6 t$，所以$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{\log_3 t} + \frac{1}{\log_4 t} = \frac{2\lg 3}{\lg t} + \frac{\lg 4}{\lg t} = \frac{2\lg 3 + 2\lg 2}{\lg t} = \frac{\lg 36}{\lg t}$，$\frac{2}{c} = \frac{2}{\log_6 t} = \frac{2\lg 6}{\lg t} = \frac{\lg 36}{\lg t}$，故$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$。
(2)解：由
(1)知，$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$，即$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{2b}$，所以$\frac{a + b}{c} = (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{2b}) = \frac{3}{2} + \frac{a}{2b} + \frac{b}{a} \geqslant \frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac{a}{2b} × \frac{b}{a}} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$，当且仅当$\frac{a}{2b} = \frac{b}{a}$，即$a = \sqrt{2}b$时等号成立，由$m^2 + \sqrt{2} \leqslant \frac{a + b}{c}$恒成立，知$m^2 + \sqrt{2} \leqslant (\frac{a + b}{c})_{\min} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$成立，即$m^2 \leqslant \frac{3}{2}$，解得$-\frac{\sqrt{6}}{2} \leqslant m \leqslant \frac{\sqrt{6}}{2}$。
[规律方法] 对于将指数恒等式$a^x = b^y = c^z = k (k ＞ 0)$作为已知条件，求函数$f(x,y,z)$的值的问题，通常设$a^x = b^y = c^z = k (k ＞ 0)$，则$x = \log_a k$，$y = \log_b k$，$z = \log_c k$，将$x$，$y$，$z$的值带入函数$f(x,y,z)$求解。