《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 若命题“$\forall x\in R,mx^{2}-2mx + 1＞0$”是假命题，则实数 m 的取值范围为（B）

A.$0\leq m＜1$
B.$m＜0$或$m\geq1$
C.$m\leq0$或$m\geq1$
D.$0＜m＜1$

答案： 1.B 【详解】命题“$\forall x \in \mathbf{R},mx^{2}-2mx + 1 ＞ 0$”是假命题，所以“$\exists x \in \mathbf{R},mx^{2}-2mx + 1 \leq 0$”是真命题，当$m = 0$时，$1 \leq 0$不成立，不符合题意，所以$m \neq 0$，所以$m ＜ 0$或$\begin{cases}m ＞ 0, \\ \Delta = 4m^{2}-4m = 4m(m - 1) \geq 0,\end{cases}$所以$m ＜ 0$或$m \geq 1$。

2. 若不等式$(a - 2)x^{2}-2(a - 2)x - 4＜0$对一切$x\in R$恒成立，则实数 a 的取值范围为（D）

A.$a＜-2$或$a＞2$
B.$a＜-2$或$a\geq2$
C.$-2＜a＜2$
D.$-2＜a\leq2$

答案： 2.D 【详解】当$a = 2$时，$-4 ＜ 0$恒成立；当$a \neq 2$时，$\begin{cases}a - 2 ＜ 0, \\ \Delta = 4(a - 2)^{2}+16(a - 2) ＜ 0,\end{cases}$解得$-2 ＜ a ＜ 2$.所以实数$a$的取值范围为$-2 ＜ a \leq 2$.

3. 已知$a＞b＞c$，若$\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c}\geq\frac{m}{a - c}$恒成立，则 m 的最大值为9。

答案： 3.9 【详解】由$a ＞ b ＞ c$，知$a - b ＞ 0$，$b - c ＞ 0$，$a - c ＞ 0$，由$\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c} \geq \frac{m}{a - c}$，得$m \leq (a - c)(\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c})$，又$a - c = a - b + b - c$，$\therefore (a - c)(\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c}) = [(a - b)+(b - c)](\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c}) = 5 + \frac{b - c}{a - b}+\frac{4(a - b)}{b - c} \geq 5 + 2\sqrt{\frac{b - c}{a - b} · \frac{4(a - b)}{b - c}} = 9$，当且仅当$\frac{4(a - b)}{b - c}=\frac{b - c}{a - b}$，即$b - c = 2(a - b)$时，$(a - c)(\frac{1}{a - b}+\frac{4}{b - c})$取得最小值$9$，$\therefore m \leq 9$，$\therefore m$的最大值为$9$。

4. 若关于 x 的一元二次不等式$(1 - a)x^{2}-4x + 6＞0$的解集是$\{x|-3＜x＜1\}$，$ax^{2}+bx + 3\geq0$的解集为 R，则实数 b 的取值范围是$-6 \leq b \leq 6$。

答案： 4.$-6 \leq b \leq 6$ 【详解】由一元二次不等式$(1 - a)x^{2}-4x + 6 ＞ 0$的解集是$\{x|-3 ＜ x ＜ 1\}$，得$1 - a ＜ 0$，且$-3,1$是方程$(1 - a)x^{2}-4x + 6 = 0$的两个根，即$\begin{cases}\frac{4}{1 - a} = -2, \\ \frac{6}{1 - a} = -3,\end{cases}$因此$a = 3$，所以不等式$ax^{2}+bx + 3 \geq 0$，即$3x^{2}+bx + 3 \geq 0$的解集为$\mathbf{R}$，则$\Delta = b^{2}-36 \leq 0$，解得$-6 \leq b \leq 6$，所以实数$b$的取值范围是$-6 \leq b \leq 6$.

5. 命题“$\forall 1\leq x\leq2,x^{2}+1 - a\leq0$”为真命题的一个充分不必要条件是（A）

A.$a＞5$
B.$a\geq5$
C.$a\geq3$
D.$a\geq2$

答案： 5.A 【详解】由$x^{2}+1 - a \leq 0 \Rightarrow a \geq x^{2}+1$，因为$1 \leq x \leq 2$，所以$2 \leq x^{2}+1 \leq 5$，要想该命题为真命题，只需$a \geq 5$，四个选项中只有A符合充分不必要的性质.

6. $\forall x＞-2,x^{2}+(4 - a)x + 7 - 2a\geq0$恒成立，则实数 a 的最大值为（C）

A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.6

答案： 6.C 【详解】$\forall x ＞ -2,x^{2}+(4 - a)x + 7 - 2a \geq 0$恒成立，即$x^{2}+4x + 7 \geq a(x + 2)$在$x ＞ -2$时恒成立，所以$a \leq \frac{x^{2}+4x + 7}{x + 2} = \frac{(x + 2)^{2}+3}{x + 2} = (x + 2)+\frac{3}{x + 2}$在$x ＞ -2$时恒成立，又$(x + 2)+\frac{3}{x + 2} \geq 2\sqrt{(x + 2) · \frac{3}{x + 2}} = 2\sqrt{3}$，当且仅当$x + 2 = \frac{3}{x + 2}$，即$x = \sqrt{3}-2$时取等号，所以$a \leq 2\sqrt{3}$，则实数$a$的最大值为$2\sqrt{3}$.

7. 对于任意的$x＞0,y＞0,\frac{x}{2x + 3y}+\frac{y}{3x + y}\geq\frac{1}{7}p^{2}-\frac{2}{7}p$恒成立，则 p 的最大值为（D）

A.$\frac{3}{7}$
B.$-1$
C.1
D.3

答案： 7.D 【详解】设$m = \frac{x}{2x + 3y}=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}$，$n = \frac{y}{3x + y}=\frac{1}{3+\frac{3x}{y}}$，$0 ＜ n ＜ 1$，则$m = \frac{1 - n}{7n + 2}$，所以$\frac{x}{2x + 3y}+\frac{y}{3x + y} = \frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{3+\frac{3x}{y}} = \frac{7n^{2}+n + 1}{7n + 2} = \frac{(7n + 2)^{2}-3(7n + 2)+9}{7(7n + 2)} = \frac{7n + 2}{7}+\frac{9}{7(7n + 2)}-\frac{3}{7} \geq 2\sqrt{\frac{7n + 2}{7} · \frac{9}{7(7n + 2)}}-\frac{3}{7} = \frac{3}{7}$，当且仅当$\frac{7n + 2}{7}=\frac{9}{7(7n + 2)}$，即$n = \frac{1}{7}$时等号成立，所以$\frac{1}{7}p^{2}-\frac{2}{7}p \leq \frac{3}{7}$，即$p^{2}-2p - 3 = (p - 3)(p + 1) \leq 0$，解得$-1 \leq p \leq 3$，即$p$的最大值为$3$.

8. 正实数 x，y 满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3}$，且不等式$x+\frac{y}{4}\geq m^{2}-m$恒成立，则实数 m 的取值范围是$-2 \leq m \leq 3$。

答案： 8.$-2 \leq m \leq 3$ 【详解】因为$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3}$且$x,y$是正数，所以$x + \frac{y}{4} = \frac{3}{2}(x+\frac{y}{4})(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}) = \frac{3}{2}(2+\frac{y}{4x}+\frac{4x}{y}) \geq \frac{3}{2}(2 + 2\sqrt{\frac{y}{4x} · \frac{4x}{y}}) = 6$，当且仅当$\begin{cases}\frac{y}{4x}=\frac{4x}{y} \\ \frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3}\end{cases}$即$\begin{cases}x = 3 \\ y = 12\end{cases}$时等号成立，因为不等式$x+\frac{y}{4} \geq m^{2}-m$恒成立，所以$m^{2}-m \leq 6$，解得$-2 \leq m \leq 3$.

9. 已知正数 x，y 满足$x + y = 2$，若$a\leq\frac{x^{2}}{x + 1}+\frac{y^{2}}{y + 2}$恒成立，则实数 a 的取值范围是$a \leq \frac{4}{5}$。

答案： 9.$a \leq \frac{4}{5}$ 【详解】因为$x + y = 2$，所以$\frac{x^{2}}{x + 1}+\frac{y^{2}}{y + 2} = \frac{(x + 1)^{2}-2(x + 1)+1}{x + 1}+\frac{(y + 2)^{2}-4(y + 2)+4}{y + 2} = x + 1+\frac{1}{x + 1}-2 + y + 2+\frac{4}{y + 2}-4 = -1+\frac{1}{x + 1}+\frac{4}{y + 2} = -1+\frac{1}{5}(x + 1+y + 2)(\frac{1}{x + 1}+\frac{4}{y + 2}) = -1+\frac{1}{5}(1 + \frac{4(x + 1)}{y + 2}+\frac{y + 2}{x + 1}+4) \geq -1+\frac{1}{5}(5 + 2\sqrt{\frac{4(x + 1)}{y + 2} · \frac{y + 2}{x + 1}}) = \frac{9}{5}$，当且仅当$\frac{y + 2}{x + 1}=\frac{4(x + 1)}{y + 2}$，即$x = \frac{2}{3},y = \frac{4}{3}$时等号成立，所以$\frac{x^{2}}{x + 1}+\frac{y^{2}}{y + 2} = -1+\frac{1}{x + 1}+\frac{4}{y + 2} \geq -1+\frac{9}{5}=\frac{4}{5}$，故知$a \leq \frac{4}{5}$.

10. 若两个正实数 x，y 满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=2$，且不等式$x+\frac{y}{4}＜m^{2}-m$有解，则实数 m 的取值范围是（D）

A.$-1＜m＜2$
B.$m＜-2$或$m＞1$
C.$-2＜m＜1$
D.$m＜-1$或$m＞2$

答案： 10.D 【详解】$x+\frac{y}{4}=\frac{1}{2}(x+\frac{y}{4})(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})=\frac{1}{2}(1 + 1+\frac{y}{4x}+\frac{4x}{y}) \geq \frac{1}{2} × (1 + 1 + 2\sqrt{\frac{y}{4x} · \frac{4x}{y}}) = 2$，要使得不等式$x+\frac{y}{4} ＜ m^{2}-m$有解，只需$m^{2}-m ＞ 2$有解即可，解得$m ＞ 2$或$m ＜ -1$.

11. 若两个正实数 x，y 满足$4x + y = xy$，且存在这样的 x，y 使不等式$x+\frac{y}{4}＜m^{2}+3m$有解，则实数 m 的取值范围是（C）

A.$-1＜m＜4$
B.$-4＜m＜1$
C.$m＜-4$或$m＞1$
D.$m＜-3$或$m＞0$

答案： 11.C 【详解】由题设得$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，则$x+\frac{y}{4}=(x+\frac{y}{4})(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}) = 2+\frac{y}{4x}+\frac{4x}{y} \geq 2 + 2\sqrt{\frac{y}{4x} · \frac{4x}{y}} = 4$，当且仅当$\frac{y}{4x}=\frac{4x}{y} \Rightarrow y = 4x$，即$\begin{cases}x = 2 \\ y = 8\end{cases}$时等号成立，要使不等式$x+\frac{y}{4} ＜ m^{2}+3m$有解，则$m^{2}+3m ＞ 4 \Rightarrow m^{2}+3m - 4 = (m + 4)(m - 1) ＞ 0$，所以$m ＜ -4$或$m ＞ 1$.

12. 若存在$1\leq x\leq3$，使不等式$x^{2}-2ax + a + 2\leq0$成立，则 a 的取值范围为$a \geq 2$。

答案： 12.$a \geq 2$ 【详解】由$x^{2}-2ax + a + 2 \leq 0 \Rightarrow x^{2}+2 \leq a(2x - 1)$，因为$1 \leq x \leq 3$，所以$1 \leq 2x - 1 \leq 5$，令$t = 2x - 1(1 \leq t \leq 5)$，则$x = \frac{t + 1}{2}$，由$x^{2}+2 \leq a(2x - 1) \Rightarrow a \geq \frac{x^{2}+2}{2x - 1} = \frac{\frac{1}{4}(t^{2}+2t + 9)}{t} = \frac{1}{4}(t+\frac{9}{t}+2) \geq \frac{1}{4}(2\sqrt{t · \frac{9}{t}}+2) = 2$，当且仅当$t = 3$时取等号，所以$a \geq 2$.

13. 若关于 x 的不等式$ax^{2}-2x + a\leq0$在$0\leq x\leq4$上有解，则实数 a 的取值范围是$a \leq 1$。

答案： 13.$a \leq 1$ 【详解】因为$0 \leq x \leq 4$，所以由$ax^{2}-2x + a \leq 0$得$a \leq \frac{2x}{x^{2}+1}$，因为关于$x$的不等式$ax^{2}-2x + a \leq 0$在区间$0 \leq x \leq 4$上有解，所以只需$a$小于等于$\frac{2x}{x^{2}+1}$的最大值，当$x = 0$时，$\frac{2x}{x^{2}+1}=0$，当$x \neq 0$时，$\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}} \leq 1$，当且仅当$x = 1$时，等号成立，故$\frac{2x}{x^{2}+1}$的最大值为$1$，所以$a \leq 1$.