《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ - 3,1,2\} $，$ B = \{ 1,2,3\} $，$ C = \{ x|x \in A $，且 $ x \notin B\} $，则 $ C $ 等于（A）

A.$ \{ - 3\} $
B.$ \{ 3\} $
C.$ \{ 1,2\} $
D.$ \{ - 3,1,2\} $

答案： 1.A 【详解】由题意得x ∈A 且x ∉B,
∴C = { -3} .

2. 已知集合 $ A = \left\{ x \in \mathbf{N}\left|\frac{3}{x - 1} \in \mathbf{Z}\right.\right\} $，则用列举法表示 $ A $ 等于（C）

A.$ \{ - 2,0,1,2,4\} $
B.$ \{ - 2,0,2,4\} $
C.$ \{ 0,2,4\} $
D.$ \{ 2,4\} $

答案： 2.C 【详解】由$\frac{3}{x - 1}$ ∈Z得x - 1 = ±1 或±3 , 即x = 0 或2 或4 或 - 2 , 又x ∈N ,
∴x = 0 或2 或4 , 故A = {0 , 2 , 4} .

1. 下列各选项中，表示 $ M \subseteq N $ 的是（C）

答案： 1.C 【详解】由M ⊆ N , 表示集合M 的图形应全都在表示集合N 的图形中.

2. 已知集合 $ A = \{ x|0 ＜ x ＜ 3\} $，$ B = \{ x|2 \leqslant x ＜ 3\} $，则下列结论正确的是（B）

A.$ B \in A $
B.$ B \subseteq A $
C.$ A = B $
D.$ A \subseteq B $

答案： 2.B 【详解】根据集合子集的概念, 可知集合B 是集合A 的子集.

3. 集合 $ A = \{ x|1 ＜ x ＜ 6\} $，$ B = \{ x|x ＜ a\} $，若 $ A \subseteq B $，则 $ a $ 的取值范围为{ a|a ≥ 6}。

答案：
3.{ a|a ≥ 6} 【详解】
∵A = {x|1 ＜ x ＜ 6} , B = {x|x ＜ a} , 由A ⊆ B , 结合数轴( 如图) 可知a ≥ 6 .

4. 在下列集合中，$ \{ 1,2,3\} $ 是其真子集的是（C）

A.$ \{ 1,2,3\} $
B.$ \{ 2,3,4,5\} $
C.$ \{ x|x ＞ 0\} $
D.$ \{ x|x ＞ 1\} $

答案： 4.C 【详解】{1 , 2 , 3} 是{1 , 2 , 3} 的子集, 故A 错误; {2 , 3 , 4 , 5} 不包含元素1 , 故B 错误; {1 , 2 , 3} 是{x|x ＞ 0} 的真子集, 故C 正确; {x|x ＞ 1} 不包含元素1 , 故D 错误.

5. （2025·江苏常州期中）满足 $ \{ 1\} \subseteq A \subsetneqq \{ 1,2,3\} $ 的集合 $ A $ 的个数为（B）

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案： 5.B 【详解】集合A 可以是{1} , {1 , 2} , {1 , 3} , 共3 个.

6. 已知集合 $ M = \{ x|x = 3m - 1,m \in \mathbf{Z}\} $，集合 $ N = \{ x|x = 3n + 2,n \in \mathbf{Z}\} $，则 $ M $，$ N $ 之间的关系为M = N。

答案： 6.M = N 【详解】由于N = {x|x = 3(n + 1) - 1 , n ∈Z} , m , n ∈Z , 所以M = N .

7. 已知集合 $ A = \{ \{ \varnothing \},\varnothing \} $，下列为 $ A $ 的元素的是（B）
① $ \{ \varnothing \} $；② $ \{ \{ \varnothing \} \} $；③ $ \varnothing $；④ $ \{ \{ \varnothing \},\varnothing \} $

A.①②
B.①③
C.②③
D.②④

答案： 7.B 【详解】集合A 有两个元素: {∅} 和∅.

1. 【题型一、三】（2025·辽宁沈阳月考）下列各选项错误的是（D）

A.$ \{ 1\} \subseteq \{ 0,1,2\} $
B.$ \{ 1, - 3\} = \{ - 3,1\} $
C.$ \{ 0,1,2\} \subseteq \{ 1,0,2\} $
D.$ \varnothing \in \{ 0\} $

答案： 1.D 【详解】对于A , 集合{1} 中的元素在集合{0 , 1 , 2} 中 , {1} ⊆ {0 , 1 , 2} , 故A 正确; 对于B , 集合{1 , - 3} 与集合{ - 3 , 1} 中的元素相同 , {1 , - 3} = { - 3 , 1} , 故B 正确; 对于C , 集合{0 , 1 , 2} 中的元素都在集合{1 , 0 , 2} 中 , {0 , 1 , 2} ⊆ {1 , 0 , 2} , 故C 正确; 对于D , ∅ 是任何非空集合的真子集 , ∅ ⊊ {0} , 故D 错误.

2. 【题型二】设集合 $ M = \{ a,b\} $，$ N = \{ 1,2,3\} $，则满足 $ M \subseteq N $ 的集合 $ M $ 有（C）

A.$ 1 $ 种
B.$ 2 $ 种
C.$ 3 $ 种
D.$ 4 $ 种

答案： 2.C 【详解】因为集合N 含有两个元素的子集有: {1 , 2} , {1 , 3} , {2 , 3} 共3 个 , 所以集合M 有3 种情况.

3. 【题型二】（2025·吉林长春期中联考）满足 $ \{ x|x^{2} - 2x - 3 = 0\} \subseteq A \subsetneqq \{ - 1,0,1,2,3\} $ 的集合 $ A $ 的个数为（C）

A.$ 5 $
B.$ 6 $
C.$ 7 $
D.$ 8 $

答案： 3.C 【详解】解方程x² - 2x - 3 = 0 得x₁ = 3 , x₂ = - 1 , 则{x|x² - 2x - 3 = 0} = { - 1 , 3} . 因为{x|x² - 2x - 3 = 0} = { - 1 , 3} ⊆ A ⊊ { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3} , 所以A 中一定包含 - 1 和3 , 且A 是{ - 1 , 0 , 1 , 2 , 3} 的真子集. 除了 - 1 和3 之外 , A 还可以包含0 , 1 , 2 中的部分元素. 对于0 , 1 , 2 这三个元素 , 每个元素都有两种情况( 在A 中或者不在A 中) , 根据真子集个数的结论知道总共有2³ - 1 = 7 种情况.

4. 【题型四】已知集合 $ A = \{ 1,a^{2}\} $，$ B = \{ 1,4,a\} $，若 $ A \subseteq B $，则实数 $ a $ 组成的集合为（D）

A.$ \{ - 2, - 1,0,2\} $
B.$ \{ - 2,2\} $
C.$ \{ - 1,0,2\} $
D.$ \{ - 2,0,2\} $

答案： 4.D 【详解】由A ⊆ B 得$\begin{cases} a² = 4 , \\ a² = a , \\ a ≠ 4 , \\ a ≠ 4 , \end{cases}$解得a = 2 或a = - 2 或a = 0 , 故实数a 组成的集合为{ - 2 , 0 , 2} .

5. 【题型一、三】若集合 $ A = \{ x \in \mathbf{N}^{*}|x $ 是 $ 2n $ 与 $ 3n $ 的公倍数，$ n \in \mathbf{N}^{*}\} $，$ B = \{ x|x = 6n,n \in \mathbf{N}^{*}\} $，则下列各选项正确的是（C）

A.$ B \subseteq A $
B.$ A \subseteq B $
C.$ A = B $
D.以上均不正确

答案： 5.C 【详解】由于A = {x ∈N* |x 是2n 与3n 的公倍数 , n ∈N*} , 故A = {x ∈N* |x 是6n 的倍数 , n ∈N*} , B = {x|x = 6n , n ∈N*} , 故B = A .