《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (2023·全国乙)已知$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$是偶函数，则$a$的值为（D）

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.D 【详解】因为$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$为偶函数，所以$f(x)-f(-x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}-\frac{(-x)e^{-x}}{e^{-ax}-1}=\frac{x[e^{x}(e^{-ax}-1)+e^{-x}(e^{ax}-1)]}{(e^{ax}-1)(e^{-ax}-1)} = 0$，又因为$x$不恒为$0$，所以$e^{x}-e^{(a - 1)x}=0$，即$e^{x}=e^{(a - 1)x}$，则$x=(a - 1)x$，即$1=a - 1$，解得$a = 2$。

2. (2024·天津)设$a = 4.2^{-0.2},b = 4.2^{0.2},c = \log_{4.2}0.2$，则$a,b,c$的大小关系为（D）

A.$a\lt b\lt c$
B.$a\lt c\lt b$
C.$c\lt b\lt a$
D.$c\lt a\lt b$

答案： 2.D 【详解】因为$y = 4.2^{x}$在$R$上单调递增，且$-0.2 ＜ 0 ＜ 0.2$，所以$0 ＜ 4.2^{-0.2}＜4.2^{0}＜4.2^{0.2}$，所以$0 ＜ a ＜ 1 ＜ b$，因为$y=\log_{4.2}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$0 ＜ 0.2 ＜ 1$，所以$\log_{4.2}0.2＜\log_{4.2}1 = 0$，即$c ＜ 0$，所以$c ＜ a ＜ b$。

3. (2024·北京)已知$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$是函数$y = 2^{x}$的图象上两个不同的点，则（B）

A.$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\lt\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$
B.$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\gt\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$
C.$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\lt x_{1}+x_{2}$
D.$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\gt x_{1}+x_{2}$

答案： 3.B 【详解】由题意不妨设$x_{1}＜x_{2}$，因为函数$y = 2^{x}$是增函数，所以$0 ＜ 2^{x_{1}}＜2^{x_{2}}$，即$0 ＜ y_{1}＜y_{2}$。对于A，B，可得$\frac{2^{x_{1}}+2^{x_{2}}}{2}＞\sqrt{2^{x_{1}}·2^{x_{2}}}=2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}$，即$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}＞0$，因为函数$y=\log_{2}x$是增函数，所以$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞\log_{2}2^{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，故B正确，A错误；对于C，取$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$，则$y_{1}=\frac{1}{2}$，$y_{2}=\frac{1}{4}$，可得$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\log_{2}\frac{3}{8}=\log_{2}3 - 3\in(-2,-1)$，即$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＞-3=x_{1}+x_{2}$，故C错误；对于D，取$x_{1}=0$，$x_{2}=1$，则$y_{1}=1$，$y_{2}=2$，可得$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\log_{2}\frac{3}{2}\in(0,1)$，即$\log_{2}\frac{y_{1}+y_{2}}{2}＜1=x_{1}+x_{2}$，故D错误。

4. (2024·北京)生物丰富度指数$d=\frac{S - 1}{\ln N}$是河流水质的一个评价指标，其中$S,N$分别表示河流中生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数$d$越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数$S$没有变化，生物个体总数由$N_{1}$变为$N_{2}$，生物丰富度指数由$2.1$提高到$3.15$，则（D）

A.$3N_{2}=2N_{1}$
B.$2N_{2}=3N_{1}$
C.$N_{2}^{2}=N_{1}^{3}$
D.$N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$

答案： 4.D 【详解】由题意得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}}=2.1$，$\frac{S - 1}{\ln N_{2}}=3.15$，则$2.1\ln N_{1}=3.15\ln N_{2}$，即$2\ln N_{1}=3\ln N_{2}$，所以$N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$。

5. (2024·新高考全国Ⅰ)已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}-2ax - a,x\lt0,\\e^{x}+\ln(x + 1),x\geq0\end{cases}$在$\mathbf{R}$上单调递增，则$a$的取值范围是（B）

A.$(-\infty,0]$
B.$[-1,0]$
C.$[-1,1]$
D.$[0,+\infty)$

答案： 5.B 【详解】因为$f(x)$在$R$上单调递增，且$x\geq0$时，$f(x)=e^{x}+\ln(x + 1)$单调递增，所以需满足$\begin{cases}\frac{-2a}{2×(-1)}\geq0\\-a\leq e^{0}+\ln1\end{cases}$，解得$-1\leq a\leq0$，即$a$的取值范围是$[-1,0]$。

6. (2024·新高考全国Ⅱ)设函数$f(x)=(x + a)\ln(x + b)$，若$f(x)\geq0$，则$a^{2}+b^{2}$的最小值为（C）

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案： 6.C 【详解】由题意可知$f(x)$的定义域为$(-b,+\infty)$，令$x + a = 0$，解得$x=-a$；令$\ln(x + b)=0$，解得$x = 1 - b$。则当$x\in(-b,1 - b)$时，$\ln(x + b)＜0$，故$x + a\leq0$，所以$1 - b + a\leq0$；$x\in(1 - b,+\infty)$时，$\ln(x + b)＞0$，故$x + a\geq0$，所以$1 - b + a\geq0$。故$1 - b + a = 0$，则$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(a + 1)^{2}=2(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}$，当且仅当$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$时，等号成立，所以$a^{2}+b^{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$。

7. (2023·全国甲)已知函数$f(x)=e^{-(x - 1)^{2}}$.记$a = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right),b = f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right),c = f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，则（A）

A.$b\gt c\gt a$
B.$b\gt a\gt c$
C.$c\gt b\gt a$
D.$c\gt a\gt b$

答案： 7.A 【详解】令$g(x)=-(x - 1)^{2}$，则$g(x)$的图象开口向下，对称轴为直线$x = 1$，因为$\frac{\sqrt{6}}{2}-1-(1-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2}-2$，而$(\sqrt{6}+\sqrt{3})^{2}-4^{2}=9 + 6\sqrt{2}-16=6\sqrt{2}-7＞0$，所以$\frac{\sqrt{6}}{2}-1＞1-\frac{\sqrt{3}}{2}$，由二次函数性质知$g(\frac{\sqrt{6}}{2})＜g(\frac{\sqrt{3}}{2})$。因为$\frac{\sqrt{6}}{2}-1-(1-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}-2$，而$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}-4^{2}=8 + 4\sqrt{3}-16=4\sqrt{3}-8＜0$，即$\frac{\sqrt{6}}{2}-1＜1-\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$g(\frac{\sqrt{6}}{2})＞g(\frac{\sqrt{2}}{2})$。综上，$g(\frac{\sqrt{2}}{2})＜g(\frac{\sqrt{6}}{2})＜g(\frac{\sqrt{3}}{2})$。又$y = e^{x}$为增函数，所以$a ＜ c ＜ b$，即$b ＞ c ＞ a$。

8. (2023·新高考全国Ⅰ)设函数$f(x)=2^{x(x - a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则$a$的取值范围是（D）

A.$(-\infty,-2]$
B.$[-2,0)$
C.$(0,2]$
D.$[2,+\infty)$

答案： 8.D 【详解】函数$y = 2^{x}$在$R$上单调递增，而函数$f(x)=2^{x(x - a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则函数$y=x(x - a)=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}$在区间$(0,1)$上单调递减，因此$\frac{a}{2}\geq1$，解得$a\geq2$，所以$a$的取值范围是$[2,+\infty)$。

9. (多选)(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级$L_{p}=20×\lg\frac{p}{p_{0}}$，其中常数$p_{0}(p_{0}\gt0)$是听觉下限阈值，$p$是实际声压.下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车$10m$处测得实际声压分别为$p_{1},p_{2},p_{3}$，则（ACD）

A.$p_{1}\geq p_{2}$
B.$p_{2}\gt10p_{3}$
C.$p_{3}=100p_{0}$
D.$p_{1}\leq100p_{2}$

答案： 9.ACD 【详解】由题意可知：$L_{p1}\in[60,90]$，$L_{p2}\in[50,60]$，$L_{p3}=40$。对于A，可得$L_{p1}-L_{p2}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{0}}-20×\lg\frac{p_{2}}{p_{0}}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}$，因为$L_{p1}\geq L_{p2}$，所以$L_{p1}-L_{p2}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\geq0$，即$\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\geq0$，所以$\frac{p_{1}}{p_{2}}\geq1$且$p_{1}$，$p_{2}＞0$，可得$p_{1}\geq p_{2}$，故A正确；对于B，可得$L_{p2}-L_{p3}=20×\lg\frac{p_{2}}{p_{0}}-20×\lg\frac{p_{3}}{p_{0}}=20×\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}$，因为$L_{p2}-L_{p3}=L_{p2}-40\geq10$，则$20×\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq10$，即$\lg\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq\frac{1}{2}$，所以$\frac{p_{2}}{p_{3}}\geq\sqrt{10}$且$p_{2}$，$p_{3}＞0$，可得$p_{2}\geq\sqrt{10}p_{3}$，当且仅当$L_{p2}=50$时，等号成立，故B错误；对于C，因为$L_{p3}=20×\lg\frac{p_{3}}{p_{0}}=40$，即$\lg\frac{p_{3}}{p_{0}}=2$，可得$\frac{p_{3}}{p_{0}}=100$，即$p_{3}=100p_{0}$，故C正确；对于D，$L_{p1}-L_{p2}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{0}}-20×\lg\frac{p_{2}}{p_{0}}=20×\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}$，且$L_{p1}-L_{p2}\leq90 - 50 = 40$，则$20×\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq40$，即$\lg\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq2$，可得$\frac{p_{1}}{p_{2}}\leq100$，且$p_{1}$，$p_{2}＞0$，所以$p_{1}\leq100p_{2}$，故D正确。

10. (2023·北京)已知函数$f(x)=4^{x}+\log_{2}x$，则$f\left(\frac{1}{2}\right)=$1.

答案： 10.1 【详解】函数$f(x)=4^{x}+\log_{2}x$，所以$f(\frac{1}{2})=4^{\frac{1}{2}}+\log_{2}\frac{1}{2}=2 - 1 = 1$。

11. (2024·全国甲)已知$a\gt1$且$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{a}4}=-\frac{5}{2}$，则$a=$64.

答案： 11.64 【详解】$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{a}4}=\frac{1}{\frac{\ln a}{3\ln2}}-\frac{1}{\frac{2\ln2}{\ln a}}=\frac{3\ln2}{\ln a}-\frac{\ln a}{2\ln2}=-\frac{5}{2}$，整理得$(\ln a)^{2}-5\ln2·\ln a - 6(\ln2)^{2}=0$，即$(\ln a - 6\ln2)(\ln a+\ln2)=0$，所以$\ln a = 6\ln2$或$\ln a=-\ln2$，又$a ＞ 1$，所以$\ln a ＞ 0$，故$\ln a = 6\ln2=\ln2^{6}$，所以$a = 2^{6}=64$。