《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

10. 【题型二、三】已知集合$A=\{ x|a - 1≤x≤2a + 1\},B=\{ x|\frac {x + 2}{x - 4}≤0\}$。在①$A\cap (\complement _{R}B)=\varnothing$；②$A\cup B = B$；③$A\cap B=\varnothing$这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
（1）当$a = 3$时，求$\complement _{R}(A\cap B)$；
（2）若_______，求实数$a$的取值范围.

答案： 10.解：
(1)当a=3时,A={x∣a−1⩽x⩽2a+1}={x∣2⩽x⩽7},B={x∣x+2/x−4⩽0}={x∣−2⩽x＜4}.所以A∩B={x∣2⩽x＜4},所以∁_R (A∩B)={x∣x＜2或x⩾4}.
(2)若①A∩(∁_R B)=∅成立,则当且仅当A是B的子集,若②A∪B=B成立,则当且仅当A是B的子集,所以条件①与②等价,若条件①或②成立,此时若A是空集,则a−1＞2a+1,解得a＜−2.若A不是空集,即a⩾−2,且A是B的子集,则{a−1⩾−2,2a+1＜4,解得−1⩽a＜3/2,所以−1⩽a＜3/2,从而无论选条件①还是②都有a＜−2或−1⩽a＜3/2;若条件③A∩B=∅成立,若A是空集,则a−1＞2a+1,解得a＜−2.若A不是空集,即a⩾−2,且A是B的补集的子集,而∁_R B={x∣x＜−2或x⩾4},则2a+1＜−2或a−1⩾4,解得a＜−3/2或a⩾5,所以−2⩽a＜−3/2或a⩾5,从而若选条件③A∩B=∅,则a＜−3/2或a⩾5.综上所述,无论选条件①或②,a的取值范围都为{a∣a＜−2或−1⩽a＜3/2};若选条件③,则a的取值范围为{a∣a＜−3/2或a⩾5}.

11. 【题型二、三】已知集合$A=\{ x|-2≤x≤a\},B=\{ x|b≤x≤1\}$。
（1）若$B\subseteq A$，且$\complement _{A}B=\{ x|-2≤x＜0\}$，求实数$a,b$的值；
（2）若集合$A,B$均为非空集合，且$A\cap B=\varnothing$，求$\frac {b - a}{1 + 4(b - a)}$的取值范围.

答案： 11.解：
(1)由题意可知,B≠∅,则a⩾1⩾b⩾−2,又∁_U B={x∣−2⩽x＜0},即a=1,b=0,此时A={x∣−2⩽x⩽1},B={x∣0⩽x⩽1},满足题设，所以a=1,b=0.
(2)由A∩B=∅且A,B均为非空集合,得1⩾b＞a⩾−2,所以1/b−a⩾1/3,又因为b−a/1+4(b−a)=1/1/b−a+4⩾1/13,所以0＜1/b−a⩽1/13,即0＜1/1+4(b−a)⩽3/13

已知集合$A=\{ x|x＞5\},B=\{ x|5a - 1＜x＜a + 11\}$，且$A\cup B = A$，则$a$的取值范围为 （B）

A.$a≤-6$
B.$a≥\frac {6}{5}$
C.$\frac {6}{5}≤a＜3$
D.$a≥3$

答案： B【详解】因为A∪B=A,所以B⊆A.若B=∅,则5a−1⩾a+11,即a⩾3;若B≠∅,则{a＜3,5a−1⩾5,解得6/5⩽a＜3.综上所述,a的取值范围是a⩾6/5