《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

4. 【题型三】若集合$A=\{x|2mx - 3 ＞ 0,m\in\mathbf{R}\}$,其中$2\in A$且$1\notin A$,则实数$m$的取值范围是 (A)

A.$\frac{3}{4}＜m\leqslant\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{4}\leqslant m＜\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}＜m＜\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{4}\leqslant m\leqslant\frac{3}{2}$

答案： 4.A 【详解】由题意可得$\begin{cases}2m × 2 - 3 ＞ 0,\\2m × 1 - 3 \leq 0.\end{cases}$解得$\frac{3}{4} ＜ m \leq \frac{3}{2}$.

5. 【题型四】集合$\{x\in\mathbf{N}^{*}|x - 3 ＜ 2\}$的另一种表示法是 (B)

A.$\{0,1,2,3,4\}$
B.$\{1,2,3,4\}$
C.$\{0,1,2,3,4,5\}$
D.$\{1,2,3,4,5\}$

答案： 5.B 【详解】集合$\{x \in \mathbf{N}^{*}|x - 3 ＜ 2\}$是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，所以$\{x \in \mathbf{N}^{*}|x - 3 ＜ 2\} = \{x \in \mathbf{N}^{*}|x ＜ 5\} = \{1,2,3,4\}$.

6. 【题型二】(2025·黑龙江哈尔滨阶段练习)下列关系正确的有 (B)
①$2\in\mathbf{R}$,②$\sqrt{2}\in\mathbf{Z}$,③$0\in\mathbf{N}$,④$|\ -\sqrt{3}\ |\in\mathbf{Q}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 6.B 【详解】对于①，因为2为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以$2 \in \mathbf{R}$，所以①正确；对于②，因为$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2} \notin \mathbf{Z}$，所以②错误；对于③，因为0是自然数，所以$0 \in \mathbf{N}$，所以③正确；对于④，因为$|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$是无理数，所以$|-\sqrt{3}| \notin \mathbf{Q}$，所以④错误.

7. 【题型三】(2025·吉林长春阶段练习)已知$3\in\{1,a,a + 2\}$,则实数$a$的值是 (A)

A.3
B.1
C.3或1
D.0

答案： 7.A 【详解】由题意得$a = 3$或$a + 2 = 3$，所以$a = 3$或$a = 1$，当$a = 3$时，集合为$\{1,3,5\}$，符合题意；当$a = 1$时，集合为$\{1,1,3\}$，不符合题意，所以$a = 3$.

8. 【题型二、四】(多选)设$a,b\in A=\{x|x = 3m + 1,m\in\mathbf{Z}\}$,$c\in B=\{x|x = 3k - 1,k\in\mathbf{Z}\}$,则 (BCD)

A.$a + b\in A$
B.$ab\in A$
C.$a + b\in B$
D.$ac\in B$

答案： 8.BCD 【详解】设$a = 3u + 1$，$b = 3v + 1$，$c = 3w - 1(u,v,w \in \mathbf{Z})$，所以$a + b = 3(u + v) + 2 = 3(u + v + 1) - 1 \in B$，即A错误，C正确；$ab = 9uv + 3(u + v) + 1 = 3(3uv + u + v) + 1 \in A$，即B正确；$ac = 9uw + 3(w - u) - 1 = 3(3uw - u + w) - 1 \in B$，即D正确.

9. 【题型五】已知集合$A=\{a,b,1\}$,$B=\{-1,2,a^{2}\}$,若$A = B$,则$a^{b}$的值为 (A)

A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.-1
D.1或$\frac{1}{2}$

答案： 9.A 【详解】由于$A = B$，所以对于集合$B$有$a^{2} = 1$，$a = 1$或$a = -1$.若$a = -1$，则$b = 2$，此时$A = B = \{-1,2,1\}$，符合题意，$a^{b} = (-1)^{2} = 1$.若$a = 1$，则集合$A$中元素不满足互异性，不符合.所以$a^{b}$的值为1.

10. 【题型五】已知集合$\{1,a,2b\}=\{2,b^{2},\frac{a}{2}\}$,则$a + b=$2或4或1.

答案： 10.2或4或1 【详解】$\because \{1,a,2b\} = \{2,b^{2},\frac{a}{2}\}$，$\therefore 2 \in \{1,a,2b\}$，$\therefore a = 2$或$2b = 2$，$\therefore a = 2$或$b = 1$.当$a = 2$时，$\{1,2,2b\} = \{2,b^{2},1\}$，$\therefore b^{2} = 2b$，解得$b = 0$或$b = 2$，此时$a + b = 2 + 0 = 2$或$a + b = 2 + 2 = 4$，当$b = 1$时，$\{1,a,2\} = \{2,1,\frac{a}{2}\}$，$\therefore a = \frac{a}{2}$，解得$a = 0$，此时$a + b = 0 + 1 = 1$.综上，$a + b = 2$或$4$或$1$.

11. 【题型三】已知集合$A=\{1,2\}$,集合$B=\{4,8\}$,则集合$\{z|z = xy,x\in A,y\in B\}$的所有元素之和为28.

答案： 11.28 【详解】$\because A = \{1,2\}$，$B = \{4,8\}$，$\therefore \{z|z = xy,x \in A,y \in B\} = \{4,8,16\}$，$\therefore$集合$\{z|z = xy,x \in A,y \in B\}$的所有元素之和为28.

12. 【题型二、三】(2025·吉林长春第二实验中学月考)已知集合$A=\{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a\in\mathbf{R}\}$.
(1) 若$A$中没有元素,求实数$a$的取值集合;
(2) 若$A$中只有一个元素,求实数$a$的取值集合.

答案： 12.解：
(1)对于方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$，若$a = 0$，则$x = -\frac{1}{2}$，不符合题意，故$a \neq 0$，此时方程是关于$x$的一元二次方程.集合$A$中没有元素，则$\Delta = 4 - 4a ＜ 0$，即$a ＞ 1$.所以实数$a$的取值集合为$\{a|a ＞ 1\}$.
(2)对于方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$，若$a = 0$，则$x = -\frac{1}{2}$，符合题意；若$a \neq 0$，方程是关于$x$的一元二次方程.$A$中只有一个元素，即$\Delta = 4 - 4a = 0$，即$a = 1$.综上，实数$a$的取值集合为$\{0,1\}$.

1. 若$2\in\{1,a^{2}+1,a + 1\}$,则$a$等于 (D)

A.2
B.1或-1
C.1
D.-1

答案： 1.D 【详解】当$a^{2}+1 = 2$时，$a = \pm1$，当$a = 1$时，$a + 1 = a^{2}+1 = 2$，不满足集合中元素的互异性，舍去，当$a = -1$时，集合为$\{1,2,0\}$；当$a + 1 = 2$时，$a = 1$，不满足集合中元素的互异性，舍去.综上，$a = -1$.

2. 若$x\in\{1,2,x^{2}\}$,则$x$的可能值为 (C)

A.1
B.0,1
C.0,2
D.0,1,2

答案： 2.C 【详解】若$x = 1$，与互异性矛盾；若$x = 2$，集合为$\{1,2,4\}$，符合；若$x = x^{2}$，则$x = 0$或$x = 1$，$x = 1$舍去.