《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 若指数函数$f(x)$的图象过点$(3,8)$，则$f(x)$的解析式为（D）

A.$f(x)=x^{3}$
B.$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$
C.$f(x)=(\frac{1}{2})^{x}$
D.$f(x)=2^{x}$

答案： 1.D 【详解】设$f(x)=a^{x}(a＞0$且$a\neq1)$，由题意得$a^{3}=8$，解得$a=2$，故$f(x)=2^{x}$.

2. (2025·河南豫北名校联考)已知函数$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$，若$f(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{10}}{10}$，则$f(2)$等于（A）

A.$\frac{1}{100}$
B.$\sqrt{10}$
C.$10$
D.$100$

答案： 2.A 【详解】由$f(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{10}}{10}$，得$a^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，所以$f(2)=a^{2}=(a^{\frac{1}{2}})^{4}=(\frac{\sqrt{10}}{10})^{4}=\frac{1}{100}$.

1. 函数$y=a^{x}-\frac{1}{a}(a＞0$，且$a\neq1)$的图象可能是下图中的（D）

答案： 1.D 【详解】A，B中，$a＞1$，于是$0＜1-\frac{1}{a}＜1$，所以图象与$y$轴的交点的纵坐标在$(0,1)$之间，显然A，B均不正确；C，D中，$0＜a＜1$，于是$1-\frac{1}{a}＜0$，所以图象与$y$轴的交点的纵坐标小于$0$，所以D符合.

2. 如图是指数函数：①$y=a^{x}$，②$y=b^{x}$，③$y=c^{x}$，④$y=d^{x}$的图象，则$a,b,c,d$与$0$和$1$的大小关系是（B）


A.$0＜a＜b＜1＜c＜d$
B.$0＜b＜a＜1＜d＜c$
C.$1＜a＜b＜c＜d$
D.$0＜a＜b＜1＜d＜c$

答案： 2.B 【详解】当底数大于$1$时，指数函数是定义域内的增函数，当底数大于$0$小于$1$时，是定义域内的减函数，由图可知$c,d$大于$1$，$a,b$大于$0$小于$1$.又由图可知$c^{1}＞d^{1}$，即$c＞d$；$b^{1}＜a^{1}$，即$b＜a$.故$a,b,c,d$与$0$和$1$的大小关系是$0＜b＜a＜1 ＜d＜c$.

3. 若$a=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$b=0.2^{0.4}$，$c=ab$，则（D）

A.$a＞b＞c$
B.$a＞c＞b$
C.$b＞c＞a$
D.$b＞a＞c$

答案： 3.D 【详解】$a=\frac{\sqrt{5}}{5}=(\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}=0.2^{0.5}$，$b=0.2^{0.4}$，因为函数$y = 0.2^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，所以$0＜a＜b＜1$.又$c - a=a(b - 1)＜0$，所以$c＜a$.故$b＞a＞c$.

4. 已知函数$y=a^{x - 2}+3(a＞0$，且$a\neq1)$的图象恒过定点$P$，点$P$在幂函数$y = f(x)$的图象上，则$f(\frac{1}{3})$等于（A）

A.$\frac{1}{9}$
B.$9$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$3$

答案： 4.A 【详解】函数$y=a^{x - 2}+3$的图象恒过定点$(2,4)$，设$f(x)=x^{\alpha}$，有$2^{\alpha}=4$，解得$\alpha=2$，故$f(x)=x^{2}$，则$f(\frac{1}{3})=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$.

1. 【题型二】(2025·吉林长春市实验中学期中)已知函数$f(x)=a^{x + 1}(a＞0$，且$a\neq1)$，则该函数图象过定点（C）

A.$(1,1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(-1,1)$
D.$(1,-1)$

答案： 1.C 【详解】函数$f(x)=a^{x + 1}$中，当$x + 1=0$，即$x=-1$时，$f(x)=1$恒成立，所以函数$f(x)$的图象恒过定点$(-1,1)$.

2. 【题型一】函数$y=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$与$y=(1 - a)x$的图象有可能是下图中的（D）

答案： 2.D 【详解】当$a＞1$时，函数$y=a^{x}$在定义域内是增函数，恒过定点$(0,1)$，$y=(1 - a)x$在定义域内是减函数，当$0＜a＜1$时，函数$y=a^{x}$在定义域内是减函数，恒过定点$(0,1)$，$y=(1 - a)x$在定义域内是增函数.