《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

3. 【题型二】已知角$\alpha$的终边在第四象限,并且与单位圆交于点$P(a,-2a)$,则$\sin\alpha$等于(C)

A.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 3.C【详解】因为角$\alpha$的终边在第四象限,并且与单位圆交于点$P(a,-2a)$,则$a＞0$,则$\sin\alpha=\frac{-2a}{\sqrt{a^2+(-2a)^2}}=\frac{-2a}{\sqrt{5a}}=\frac{-2\sqrt{5}}{5}$.

4. 【题型三】已知角$\theta$的终边过点$P(-12,5)$,则$\sin\theta + \cos\theta$等于(D)

A.$\frac{17}{13}$
B.$-\frac{17}{13}$
C.$\frac{7}{13}$
D.$-\frac{7}{13}$

答案： 4.D【详解】由角$\theta$的终边过点$P(-12,5)$,可得$r=\sqrt{(-12)^2+5^2}=13$,所以$\sin\theta+\cos\theta=\frac{5}{13}-\frac{12}{13}=-\frac{7}{13}$.

5. 【题型四】已知角$\alpha$是第四象限角,则下列不等式成立的是(B)

A.$\tan\alpha\sin\alpha ＜ 0$
B.$\sin\alpha\cos\alpha ＜ 0$
C.$\tan\alpha ＞ 0$
D.$\cos\alpha ＜ 0$

答案： 5.B【详解】由题得$\tan\alpha＜0,\cos\alpha＞0,\sin\alpha＜0,\tan\alpha\sin\alpha＞0,\sin\alpha\cos\alpha＜0$.

6. 【题型一、四】若角$\theta$的终边经过点$P(a,5),a \neq 0$,则下列说法正确的是(A)

A.$\sin\theta ＞ 0$
B.$\sin\theta ＜ 0$
C.$\cos\theta ＞ 0$
D.$\cos\theta ＜ 0$

答案： 6.A【详解】由角$\theta$的终边经过点$P(a,5)$,可得$\sin\theta=\frac{5}{\sqrt{a^2+25}}＞0$,而$\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+25}}$的符号不确定.

7. 【题型三】(多选)若角$\theta$的终边经过点$P(-1,m)$,且$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}m$,则$m$的值为(ABC)

A.0
B.1
C.-1
D.2

答案： 7.ABC【详解】由三角函数定义得$\sin\theta=\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}$,所以$\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}m$,若$m=0$,满足要求,若$m\neq0$,则$\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得$m=\pm1$,综上,$m=0,\pm1$.

8. 【题型三】(多选)已知角$\alpha$的终边经过点$P(-2,m)$,则下列结论正确的是(ABD)

A.若$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$,则$m = 1$
B.若$m = 1$,则$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$
C.若$\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$,则$m = 1$
D.若$m = 1$,则$\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 8.ABD【详解】由$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$,得$\frac{m}{\sqrt{m^2+(-2)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,解得$m=1$(负值舍去),故A正确.由$m=1$,得$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+(-2)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt{m^2+(-2)^2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$,故B,D正确.由$\cos\alpha=-\frac{2}{\sqrt{m^2+(-2)^2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$,解得$m=\pm1$,故C错误.

9. 【题型一、二】已知角$\theta$的顶点与原点重合,始边与$x$轴非负半轴重合,若$A(-1,y)$是角$\theta$终边上的一点,且$\sin\theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$,则$y$ = _ .

答案： 9.-3【详解】因为$\sin\theta=-\frac{3\sqrt{10}}{10}＜0,A(-1,y)$是角$\theta$终边上一点,所以$y＜0$,由三角函数的定义,得$\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$,角得$y=-3$.

10. 【题型六】已知角$\alpha$的顶点为坐标原点,始边与$x$轴的非负半轴重合,终边过点$P(\sin420^{\circ},\cos45^{\circ})$,则$\tan(-2\pi + \alpha)$ = _ .

答案： 10.$\frac{\sqrt{6}}{3}$【详解】$\sin420°=\sin(360°+60°)=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$P(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$\tan(-2\pi+\alpha)=\tan\alpha=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

11. 【题型三】(2025·北京首都师范大学附属中学期末)在平面直角坐标系中,已知角$\alpha$的终边经过点$P(a,a - 3)$,且$\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$,则$a$等于 _ .

答案： 11.1【详解】由三角函数的定义可得$\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+(a-3)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,知$a＞0$,整理可得$a^2+2a-3=0$,解得$a=1$或$a=-3$(舍).

12. 【题型四、六】已知角$\theta$满足$\sin(360^{\circ} + \theta) ＞ 0,\tan(-360^{\circ} + \theta) ＜ 0$,则$\theta$位于第 _ 象限.

答案： 12.二【详解】因为$\sin(360°+\theta)＞0,\tan(-360°+\theta)＜0$,所以$\sin\theta＞0,\tan\theta＜0$,故$\theta$位于第二象限.

易错点 应用三角函数的定义忽略终边位置的讨论
已知角$\alpha$的终边在直线$3x + y = 0$上,则$\cos\alpha$的值为 _ .

答案： $\pm\frac{\sqrt{10}}{10}$【详解】$\because$角$\alpha$的终边在直线$3x+y=0$上,$\therefore$角$\alpha$的终边在第二象限或第四象限.当角$\alpha$的终边在第二象限时,角$\alpha$的终边上取一点$P(-1,3)$,则点$P$到原点的距离$r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore\cos\alpha=\frac{x}{r}=\frac{-1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$.当角$\alpha$的终边在第四象限时,在角$\alpha$的终边上取一点$P'(1,-3)$,则点到原点的距离$r'=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$,$\therefore\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
综上,$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$或$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$