《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. 设 $ x ＞ 0,y ＞ 0 $ 且 $ x + y = 2 $，则 $ \frac{4}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值为（D）

A.9
B.$ \frac{5}{2} $
C.4
D.$ \frac{9}{2} $

答案： 1.D【详解】$\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}(\frac{4}{x} + \frac{1}{y})(x + y) = \frac{1}{2}(5 + \frac{x}{y} + \frac{4y}{x}) \geq \frac{9}{2}$，当且仅当$x = \frac{4}{3},y = \frac{2}{3}$时等号成立，故$\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$. 

2. 已知正数 $ a,b $ 满足 $ a^{2} + b^{2} = 1 $，则 $ ab $ 的最大值为（C）

A.1
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{1}{4} $

答案： 2.C【详解】已知正数$a,b$满足$a^{2} + b^{2} = 1$，则$ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{1}{2}$，当且仅当$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号.

1. 不等式 $ x^{2} - 2x ＞ 0 $ 的解集为（D）

A.$ \{ x | x ＞ 0 \} $
B.$ \{ x | x ＜ 2 \} $
C.$ \{ x | 0 ＜ x ＜ 2 \} $
D.$ \{ x | x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 \} $

答案： 1.D【详解】不等式$x^{2} - 2x ＞ 0$，即$x(x - 2) ＞ 0$，解得$x ＜ 0$或$x ＞ 2$，所以原不等式的解集为$\{x|x ＜ 0$或$x ＞ 2\}$.

2. （2025·山东菏泽期中）不等式 $ x(x - \frac{1}{2}) ＜ 0 $ 的解集是（B）

A.$ \{ x | x ＜ 0 \} $
B.$ \{ x | 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2} \} $
C.$ \{ x | x ＞ \frac{1}{2} \} $
D.$ \{ x | x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ \frac{1}{2} \} $

答案： 2.B【详解】$x(x - \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow x = 0$或$x = \frac{1}{2}$，$y = x(x - \frac{1}{2})$的图象是开口向上的抛物线，所以不等式$x(x - \frac{1}{2}) ＜ 0$的解集是$\{x|0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$.

3. （2025·河南郑州期中）不等式 $ \frac{x - 1}{2x + 4} ＞ 0 $ 的解集为（A）

A.$ \{ x | x ＜ - 2 $ 或 $ x ＞ 1 \} $
B.$ \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $
C.$ \{ x | x ＜ - 1 $ 或 $ x ＞ 2 \} $
D.$ \{ x | - 1 ＜ x ＜ 2 \} $

答案： 3.A【详解】$\frac{x - 1}{2x + 4} ＞ 0$即为$(x - 1)(x + 2) ＞ 0$，故$x ＜ -2$或$x ＞ 1$，故不等式的解集为$\{x|x ＜ -2$或$x ＞ 1\}$.

4. 不等式组 $ \begin{cases} 6 - x - x^{2} \leq 0, \\ x^{2} + 3x - 4 ＜ 0 \end{cases} $ 的解集为$\{x|-4 ＜ x \leq -3\}$。

答案： 4.$\{x|-4 ＜ x \leq -3\}$【详解】由$6 - x - x^{2} \leq 0$，得$x^{2} + x - 6 \geq 0$，即$(x - 2)(x + 3) \geq 0$，解得$x \leq -3$或$x \geq 2$，由$x^{2} + 3x - 4 ＜ 0$，得$(x - 1)(x + 4) ＜ 0$，解得$-4 ＜ x ＜ 1$，所以$-4 ＜ x \leq -3$. 

5. 已知不等式 $ ax^{2} - bx + c ＞ 0 $ 的解集为 $ \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $，则函数 $ y = ax^{2} - bx + c $ 的图象大致为（B）

答案： 5.B【详解】因为$ax^{2} - bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|-2 ＜ x ＜ 1\}$，所以方程$ax^{2} - bx + c = 0$的两根分别为$-2$和$1$，且$a ＜ 0$，则$\begin{cases}-2 + 1 = \frac{b}{a}\\(-2) × 1 = \frac{c}{a}\end{cases}$，变形可得$\begin{cases}b = -a\\c = -2a\end{cases}$，故函数$y = ax^{2} - bx + c = ax^{2} + ax - 2a = a(x + 2)(x - 1)$的图象开口向下，且与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$和$(-2,0)$，故B的图象符合.

6. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 $ ( - \frac{1}{2},2 ) $，则下列结论错误的是（A）

A.$ a ＞ 0 $
B.$ b ＞ 0 $
C.$ c ＞ 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

答案： 6.A【详解】因为不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$(-\frac{1}{2},2)$，所以相应的二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象开口向下，所以$a ＜ 0$，故A错误；易知$2$和$-\frac{1}{2}$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根，则有$\frac{c}{a} = -1 ＜ 0$，$-\frac{b}{a} = \frac{3}{2} ＞ 0$，又$a ＜ 0$，故$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，故B,C正确；由二次函数的图象可知，当$x = 1$时，$y = a + b + c ＞ 0$，故D正确.

1. 【题型一】已知 $ x \in \mathbf{R} $，则“$ x = 2 $”是“$ x^{2} ＞ 1 $”的（B）

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B【详解】解不等式$x^{2} ＞ 1$可得$x ＜ -1$或$x ＞ 1$，因为$\{2\} \subsetneqq \{x|x ＜ -1$或$x ＞ 1\}$，因此$x = 2$是$x^{2} ＞ 1$的充分不必要条件.

2. 【题型一】（2025·吉林长春期中）不等式 $ (x + 1)(x - 2) \leq 0 $ 的解集为（A）

A.$ \{ x | - 1 \leq x \leq 2 \} $
B.$ \{ x | - 1 ＜ x ＜ 2 \} $
C.$ \{ x | x ＞ - \frac{1}{2} $ 或 $ x \leq - 1 \} $
D.$ \{ x | x ＞ 2 $ 或 $ x ＜ - 1 \} $

答案： 2.A【详解】由$(x + 1)(x - 2) \leq 0$可得$-1 \leq x \leq 2$，所以不等式的解集为$\{x|-1 \leq x \leq 2\}$.