《2026年易点通基础提分数学山西专版》

4. 如图，已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$\triangle BDC$ 是等腰三角形，且 $\angle BDC = 120^{\circ}$，以 $D$ 为顶点作 $\angle MDN = 60^{\circ}$，交 $AB$ 于点 $M$，交 $AC$ 于点 $N$，连接 $MN$，且 $MN // BC$。则 $\triangle AMN$ 的周长为6。

答案： 4.6

5. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $E$ 在 $CD$ 上，且 $CE = 2ED$，将 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 折叠至 $\triangle AFE$ 的位置，延长 $EF$ 交 $BC$ 于 $G$，则 $BG =$3。

答案： 5.3

6. 【阅读材料】如图 $1$，四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在 $BC$，$CD$ 上，若 $\angle BAD = 2\angle EAF$，则 $EF = BE + DF$。
【解决问题】如图 $2$，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 $ABCD$。已知 $CD = CB = 100\ m$，$\angle D = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，$\angle BCD = 150^{\circ}$，道路 $AD$，$AB$ 上分别有景点 $M$，$N$，且 $DM = 100\ m$，$BN = 50(\sqrt{3} - 1)\ m$，若在 $M$，$N$ 之间修一条直路，则路线 $M \to N$ 的长比路线 $M \to A \to N$ 的长少370 $m$（结果取整数，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.7$）。

答案： 6.370

7. 探索发现：（1）如图 $1$，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$CD$ 边上的点，且 $\angle EAF = 60^{\circ}$，连接 $EF$。试猜想 $BE$，$EF$，$DF$ 之间的数量关系，并说明理由。
尝试应用：（2）如图 $2$，在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，点 $M$，$N$ 在 $BC$ 边上，且 $\angle MAN = 60^{\circ}$。若 $BM = 1$，$CN = 3$，请直接写出 $MN$ 的长。

答案：
7.解:
(1)EF = BE + DF.
理由:如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转120°得到△ADG,则△ADG≌△ABE.

∴AG = AE,DG = BE,∠DAG = ∠BAE,∠ADG = ∠ABE = 90°.
∴∠ADG + ∠ADC = 180°.
∴G,D,F三点共线.
∵∠BAD = 120°,∠EAF = 60°,
∴∠BAE + ∠FAD = 60°.
∴∠GAF = ∠DAG + ∠FAD = 60°.
∴∠EAF = ∠GAF.
又
∵AF = AF,
∴△AEF≌△AGF.
∴EF = GF = DG + DF = BE + DF.
(2)$\sqrt{7}$