《2026年易点通基础提分数学山西专版》

5. 如图，$E$为$AB$的中点，$\angle ADE=\angle B$. 若$AB = 12$，$AC = 9$，则$CD$的长为1.

答案： 5.1

6. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$AD$边上一点，且$AE = 2DE$，连接$CE$交对角线$BD$于点$F$，若$BD = 10$，则$DF$的长为2.5.

答案： 6.2.5

7. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，$\angle ABE=\angle C$，$DE// AB$，如果$AB = 6$，$AC = 9$，那么$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle CDE}$的值是\frac{4}{5}.

答案： $7.\frac{4}{5}$

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 45^{\circ}$，过点$A$作$AD\perp BC$，垂足为$D$，点$F$为$AD$上一点，连接$CF$并延长交$AB$于点$E$，$\angle AFE = 2\angle EAF$，若$AF = 9$，$DF = 3$，则$CF$的长为5.

答案： 8.5

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AD// BC$，$BC = 2AD$，对角线$AC$与$BD$交于点$E$. 点$F$是线段$EC$上一点，且$\angle BDF=\angle BAC$. 若$AB = 3\sqrt{5}$，$BC = 6$，求$FC$的长.

答案： 9. 解：
∵∠ABC = 90°,AD//BC,
∴∠BAD = 90°.
∵BC = 6,BC = 2AD,
∴AD = 3.
在Rt△ABC中$,AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 9.$
在Rt△ABD中$,BD = \sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 3\sqrt{6}.$
∵AD//BC,
∴∠DAE = ∠BCE.
又
∵∠DEA = ∠BEC,
∴△DEA ∽ △BEC.
∵$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{CB}=\frac{1}{2}$
∴$AE = \frac{1}{3}AC = 3,CE = \frac{2}{3}AC = 6,DE = \frac{1}{3}BD = \sqrt{6},$
$BE = \frac{2}{3}BD = 2\sqrt{6}.$
∵∠AEB = ∠DEF,∠BAC = ∠BDF,
∴△AEB ∽ △DEF.
∵$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{FE},$即$\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{FE}$
∴EF = 4.
∴FC = CE - EF = 6 - 4 = 2.