《2026年易点通基础提分数学山西专版》

1. 如图，正方形 $ABCD$ 中，$G$ 是 $BC$ 上任意一点，$AB = 4$，$BG = 3$，$DE \perp AG$ 于点 $E$，$BF // DE$，且交 $AG$ 于点 $F$。
（1）线段 $AF$，$BF$，$EF$ 之间的数量关系是 ；
（2）$EF$ 的长为AF - BF = EF。$\frac{4}{5}$

答案： 1.
(1)AF - BF = EF　
(2)$\frac{4}{5}$

2. 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，点 $E$ 在边 $AD$ 所在的直线上，连接 $CE$，以 $CE$ 为边，作正方形 $CEFG$（点 $D$，$F$ 在直线 $CE$ 的同侧），连接 $BF$。当点 $E$ 在线段 $AD$ 上时，$AE = 1$，则 $BF$ 的长为$\sqrt{74}$。

答案： 2.$\sqrt{74}$

3. 如图，以 $Rt\triangle ABC$ 的斜边 $BC$ 为一边在 $\triangle ABC$ 的同侧作正方形 $BCEF$，设正方形的中心为 $O$，连接 $AO$，如果 $AB = 4$，$AO = 6\sqrt{2}$，那么 $AC$ 的长为16。

答案： 3.16

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $AB$ 上，$AF$$\perp DE$ 于点 $F$，$CG \perp DE$ 于点 $G$。若 $AD = 5$，$CG = 4$，则 $\triangle AEF$ 的面积为 。$\perp DE$ 于点 $F$，$CG \perp DE$ 于点 $G$。若 $AD = 5$，$CG = 4$，则 $\triangle AEF$ 的面积为 。

答案： 4.$\frac{27}{8}$

5. 如图，图 $1$ 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成。若图 $1$ 中大正方形的面积为 $24$，小正方形的面积为 $4$，现将这四个直角三角形拼成图 $2$，则图 $2$ 中大正方形的面积为44。

答案： 5.44

6. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 同时经过点 $B$，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，点 $A$ 的横坐标为 $1$，$\angle AOB = \angle OBA = 45^{\circ}$，则 $k$ 的值为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

答案： 6.$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

7. 如图，在赵爽弦图中，正方形 $ABCD$ 是由四个全等的直角三角形 $ABF$，$BCG$，$CDH$，$DAE$ 和一个小正方形 $EFGH$ 组成的。若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形 $MNPQ$，连接 $PH$ 并延长，交 $MQ$ 于点 $O$。若正方形 $MNPQ$ 的面积为 $196$，正方形 $EFGH$ 的面积为 $4$。
（1）求正方形 $ABCD$ 的面积；
（2）求 $OH$ 的长。

答案：
7.解:
(1)设每个小直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,斜边长为c.
∵正方形MNPQ的面积为196,正方形EFGH的面积为4,
∴$\begin{cases} ( a + b ) ^ {2} = 196, \\ ( a - b ) ^ {2} = 4. \end{cases} $
∵a ＞ 0,b ＞ 0,
∴$\begin{cases} a + b = 14, \\ a - b = 2. \end{cases} $解,得$\begin{cases} a = 8, \\ b = 6. \end{cases} $
∴c = $\sqrt{a² + b²}$ = 10.
∴正方形ABCD的面积为$c²$ = 100.
(2)如图,设HP交CD于点K.

由题意得CH = CP,∠HCK = ∠PCK,
∴CK⊥HP.
∴∠CKP = 90°.
∴∠KCP + ∠KPC = 90°.
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠NPQ = 90°.
∴∠CPK + ∠DPK = 90°.
∴∠KCP = ∠DPK.
由
(1)得PC = a = 8,sin∠DCP = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$.
∴PK = PC·sin∠DCP = 8×$\frac{3}{5}$ = 4.8.
同理HK = 4.8.
∴PH = 9.6.
由题意得∠Q = 90°,PQ = 6 + 8 = 14,cos∠OPQ = cos∠DCP = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$.
∴OP = $\frac{PQ}{cos∠OPQ}$ = 17.5.
∴OH = OP - PH = 17.5 - 9.6 = 7.9.