《2026年易点通基础提分数学山西专版》

5. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BC = CD$，$AB = 6$，$AD = 8$，$\angle DAB = 90^{\circ}$，$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$，求对角线 $AC$ 的长。

答案：
5.解:如图，过点C作CE⊥AC,交AB的延长线于点E,则∠ACE = 90°.

∵∠DAB = 90°,∠ABC + ∠D = 180°,
∴∠DCB = 360° - (∠DAB + ∠ABC + ∠D) = 90°.
∴∠ECB = ∠ACD = 90° - ∠ACB.
∵∠ABC + ∠EBC = 180°,∠ABC + ∠D = 180°,
∴∠EBC = ∠D.
又
∵BC = DC,
∴△ECB≌△ACD(ASA).
∴EB = AD = 8,EC = AC;
∴AE = AB + EB = 6 + 8 = 14.
∵AC² + EC² = AE² = 14²,
∴2AC² = 14².
∴AC = $7\sqrt{2}$.
∴对角线AC的长为$7\sqrt{2}$.

6. 在等边 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边的中点，$\angle EDF = 120^{\circ}$，$DE$ 与 $AB$ 边相交于点 $E$，$DF$ 与 $AC$ 边（或 $AC$ 边的延长线）相交于点 $F$。
（1）如图 $1$，$DF$ 与 $AC$ 边相交于点 $F$，求证：$BE + CF = \frac{1}{2}AB$；
（2）如图 $2$，将图 $1$ 中的 $\angle EDF$ 绕点 $D$ 顺时针旋转一定的角度，使 $DF$ 与 $AC$ 边的延长线交于点 $F$，作 $DN \perp AC$ 于点 $N$，若 $DN = FN$，$AB = 8$，求 $BE$ 的长。

答案：
6.解:
(1)如图1,过点D分别作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N,则∠AMD = ∠BMD = ∠AND = ∠CND = 90°.
∵△ABC是等边△ABC,
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∴∠MDN = 360° - 60° - 90° - 90° = 120°.
∵∠EDF = 120°,
∴∠MDE = ∠NDF.
∵D是BC边的中点，
∴BD = CD.
又
∵∠B = ∠C,∠BMD = ∠CND = 90°,
∴△MBD≌△NCD.
∴BM = CN,DM = DN.
又
∵∠EMD = ∠FND = 90°,∠MDE = ∠NDF,
∴△EMD≌△FND.
∴EM = FN.
∴BE + CF = BM + EM + CF = BM + FN + CF = BM + CN = 2BM = 2BD×cos60° = BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AB.

(2)如图2,过点D作DM⊥AB于点M.

同
(2)可得:BM = CN,DM = DN,EM = FN.
∵DN = FN,
∴DM = DN = FN = EM.
∵BC = AB = 8,
∴BD = 4.
∴BE + CF = BM + EM + CF = CN + DM + CF = FN + DM = 2DM = 2BD×sin60° = $4\sqrt{3}$.
又
∵CF = FN - CN = DM - BM = $2\sqrt{3} - 2$.
∴BE = $2\sqrt{3} + 2$.