《2026年易点通基础提分数学山西专版》

5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 上一点，$BF \perp AE$ 交 $DC$ 于点 $F$，若 $AB = 5$，$BE = 2$，则 $AF =$$\sqrt{34}$。

答案： 5.$\sqrt{34}$

6. 如图，已知直线 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $B$，$A$ 两点，将 $\triangle AOB$ 沿着 $AB$ 翻折，使点 $O$ 落在点 $D$ 处，当反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $D$ 时，$k$ 的值为$\frac{128}{25}$。

答案： 6.$\frac{128}{25}$

7. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 边上一点，且 $CE = 2BE$，连接 $AE$，点 $F$ 是 $AB$ 边上一点，过点 $F$ 作 $FG \perp AE$ 交 $CD$ 于点 $G$，连接 $EF$，$EG$，$AG$，若四边形 $AFEG$ 的面积为 $10$，则 $AB$ 的长为$3\sqrt{2}$。

答案： 7.$3\sqrt{2}$

8. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 6$，$D$ 为 $BC$ 上一点，且 $BD = 2$，连接 $AD$，过点 $B$ 作 $BE \perp AD$ 于点 $F$，交 $AC$ 于点 $E$，求 $BE$ 的长。

答案：
8.解:如图,过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线,两垂线交于点G,延长BE交CG于点H.

∵∠ABC = 90°,
∴四边形ABCG是矩形.
∵AB = 4,BD = 2,BC = 6,
∴CD = BC - BD = 4.
∴AD = $\sqrt{AB² + BD²}$ = $\sqrt{4² + 2²}$ = $2\sqrt{5}$
∵∠ABD = ∠AFB = 90°,
∴∠ABF + ∠HBC = ∠ABF + ∠BAD,即∠HBC = ∠BAD.
又
∵∠ABD = ∠BCH,
∴△ABD∽△BCH.
∴$\frac{AD}{BH}$ = $\frac{BD}{CH}$ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{2}{3}$.
∴BH = $3\sqrt{5}$,CH = 3.
∵AB//CH,
∴△ABE∽△CHE.
∴$\frac{AB}{CH}$ = $\frac{BE}{HE}$,即$\frac{4}{3}$ = $\frac{BE}{3\sqrt{5} - BE}$.
∴BE = $\frac{12\sqrt{5}}{7}$.