《2026年易点通基础提分数学山西专版》

1. 【问题呈现】
(1)如图1，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形，连接$BD$，$CE$.求证：$BD = CE$.
【类比探究】
(2)如图2，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，$\angle ABC = \angle ADE = 90°$，连接$BD$，$CE$.求$\frac{BD}{CE}$的值.
【拓展提升】
(3)如图3，$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是直角三角形，$\angle ABC = \angle ADE = 90°$，且$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} = \frac{3}{4}$.连接$BD$，$CE$.
①求$\frac{BD}{CE}$的值；
②延长$CE$交$BD$于点$F$，交$AB$于点$G$.求$\sin \angle BFC$的值.

答案： 1.
(1)证明:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD = AE，AB = AC，∠DAE = ∠BAC = 60°.
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
　即∠BAD = ∠CAE.
∴△BAD ≌ △CAE(SAS).
∴BD = CE.
(2)解:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$，∠DAE = ∠BAC = 45°.
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
　即∠BAD = ∠CAE.
∴△BAD ∽ △CAE.
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)解:①
∵$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{DE}$ = $\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{BC}{DE}$.又
∵∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴△ABC ∽ △ADE.
∴∠BAC = ∠DAE，$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AD}{AE}$.
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠BAD = ∠CAE.
∴△BAD ∽ △CAE.
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{AB}{AC}$.
　在Rt△ABC中，$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{3}{4}$，设AB = 3k，BC = 4k，
　由勾股定理，得AC = $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$ = 5k.
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3k}{5k}$ = $\frac{3}{5}$.
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{5}$.
　②由①，得△CAE ∽ △BAD，
∴∠ACE = ∠ABD.
∵∠AGC = ∠BGF，
∴∠BFC = ∠BAC.
∴sin∠BFC = sin∠BAC = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{4k}{5k}$ = $\frac{4}{5}$.