《2026年易点通基础提分数学山西专版》

3. 问题情境：
在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动.
阳光小组准备了两张矩形纸片$ABCD$和$EFGH$，其中$AB = 6$，$AD = 8$，将它们按如图1所示的方式放置，当点$A$与点$E$重合，点$F$，$H$分别落在$AB$，$AD$边上时，点$F$，$H$恰好为边$AB$，$AD$的中点.然后将矩形纸片$EFGH$绕点$A$按逆时针方向旋转，旋转角为$\alpha$，连接$BF$与$DH$.
观察发现：
(1)如图2，当$\alpha = 90°$时，小组成员发现$BF$与$DH$存在一定的关系，其数量关系是BF = $\frac{3}{4}$DH ；位置关系是BF⊥DH .
探索猜想：
(2)如图3，当$90° ＜ \alpha ＜ 180°$时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由.

答案：
3.解:
(1)BF = $\frac{3}{4}$DH　BF⊥DH
(2)当90°＜α＜180°时，
(1)中发现的结论仍然成立，理由如下:
　如图，设AB与DH交于点R，BF与DH交于点Q.
　　　　　　　　
∵四边形ABCD和四边形HAFG是矩形，
∴∠BAD = ∠HAF = 90°.
∴∠BAH + ∠BAD = ∠BAH + ∠HAF，
即∠BAF = ∠DAH;
在题图1中，点F，H分别为AB，AD的中点，AB = 6，
AD = 8，
∴AF = 3，AH = 4.
∴$\frac{AF}{AH}$ = $\frac{3}{4}$.
∵$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AF}{AH}$.
∴△BAF ∽ △DAH;
∴∠ABF = ∠ADH，$\frac{BF}{DH}$ = $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{3}{4}$，即BF = $\frac{3}{4}$DH.在Rt△ADR中，
∵∠DAR = 90°，
∴∠ARD + ∠ADH = 90°.
∵∠BRH = ∠ARD，
∴∠BRH + ∠ABF = 90°.
∴∠BQR = 90°.
∴BF⊥DH.