《2026年易点通基础提分数学山西专版》

7. 在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为D，E。
(1) 如图1，请探究线段BD，CE和DE的数量关系并说明理由；
(2) 当直线l绕点A旋转到图2的位置时，请直接写出线段BD，CE和DE的数量关系。

答案： 7.解:
(1)①BD + CE = DE.理由如下:
∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,
∴∠BDA = ∠AEC = 90°.
在Rt△ABD中，∠ABD + ∠BAD = 90°.
∵∠BAC = 90°,
∴∠BAD + ∠CAE = 90°.
∴∠ABD = ∠CAE.
又
∵AB = AC,
∴△ABD≌△CAE.
∴AD = CE,BD = AE.
∴BD + CE = AE + AD = DE.
②BD - CE = DE.

8. (1) 问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC = ∠A = ∠B = 90°。求证：$\frac{AD}{BP} = \frac{AP}{BC}$。
(2) 探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC = ∠A = ∠B时，(1)中结论是否仍然成立，说明理由。
(3) 应用：如图3，在△ABD中，AB = 12，AD = BD = 10，点P为线段AB上一点，点C为线段BD上一点，CD = 8，当满足∠DPC = ∠A时，求AP的长。

答案： 8.
(1)证明:
∵∠DPC = ∠A = ∠B = 90°,
∴∠ADP + ∠APD = 90°,∠BPC + ∠APD = 90°.
∴∠ADP = ∠BPC;
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$.
(2)解:结论$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$仍成立,理由如下:
∵∠BPD = ∠DPC + ∠BPC,
又
∵∠BPD = ∠A + ∠ADP,
∴∠DPC + ∠BPC = ∠A + ∠ADP.
∵∠DPC = ∠A,
∴∠ADP = ∠BPC.
又
∵∠A = ∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$.
(3)解:
∵AD = BD,
∴∠A = ∠B.
∵∠DPC = ∠A,
∴∠A = ∠B = ∠DPC.
由
(1)
(2)可得:$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$,
∴AP·BP = BC·AD.
又
∵BP = 12 - AP,
∴AP·(12 - AP) = 2×10.
∴AP = 2或AP = 10.
∴AP的长为2或10.