《2026年易点通基础提分数学山西专版》

8. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与一次函数$y=mx+1$的图象交于点$A(2,3)$，点$B$是反比例函数图象上一点，$BC\perp x$轴于点$C$，交一次函数的图象于点$D$，连接$AB$。
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=mx+1$的表达式；
(2)当$OC=4$时，求$\triangle ABD$的面积。

答案： 8. 解:
(1)把A(2,3)代入y = $\frac{k}{x}$,得k = 6.
∴反比例函数的表达式为y = $\frac{6}{x}$.
　把A(2,3)代入y = mx + 1,得2m + 1 = 3.
　解,得m = 1.
∴一次函数的表达式为y = x + 1.
(2)把x = 4代入y = x + 1,得y = 5,
∴D(4,5).
　把x = 4代入y = $\frac{6}{x}$,得y = $\frac{3}{2}$，
∴B(4,$\frac{3}{2}$).
∴BD = 5 - $\frac{3}{2}$ = $\frac{7}{2}$.
∴$S_{\triangle ABD}$ = $\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×(4 - 2) = $\frac{7}{2}$.

9. 如图，一次函数$y=mx+n(m\neq0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于点$A(-3,a)$，$B(1,3)$，且一次函数的图象与$x$轴，$y$轴分别交于点$C$，$D$。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点$P$，使得$S_{\triangle OCP}=4S_{\triangle OBD}$，求点$P$的坐标。

答案： 9. 解:
(1)把B(1,3)代入y = $\frac{k}{x}$,得k = 3.
∴反比例函数的表达式为y = $\frac{3}{x}$.
　把A(-3,a)代入y = $\frac{3}{x}$,得a = -1.
∴A(-3,-1).
　把A(-3,-1),B(1,3)代入y = mx + n,得
　$\begin{cases}-3m + n = -1\\m + n = 3\end{cases}$，解,得$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$.
∴一次函数的表达式为y = x + 2.
(2) -3 ＜ x ＜ 0或x ＞ 1.
(3)在一次函数y = x + 2中，
　当x = 0时,y = 2;当y = 0时,x = -2.
∴C(-2,0),D(0,2).
∴OC = 2,OD = 2.
∴$S_{\triangle OBD}$ = $\frac{1}{2}$×2×1 = 1.
∴$S_{\triangle OCP}$ = 4$S_{\triangle OBD}$ = 4.
　设点P的坐标为(b,$\frac{3}{b}$)，
∴$\frac{1}{2}$×2×(-$\frac{3}{b}$) = 4,
　解,得b = -$\frac{3}{4}$.
∴P(-$\frac{3}{4}$,-4).