《2026年易点通基础提分数学山西专版》

3. (2025·百校四)“六一”儿童节期间，某超市以10元/个的价格购入一批儿童礼品.在销售前，销售经理进行了市场调研.
调研数据：下表是日销售数量y(个)与销售单价x(元)的部分调研数据.

建立模型：
(1)根据调研数据可知y是x的一次(填“一次”“二次”或“反比例”)函数，y关于x的函数表达式为y = -2x + 84.
问题解决：
(2)儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为450元，求m的值.

答案： 3.解:
(1)一次 y = -2x + 84
(2)设日销售利润为w元.
　根据题意，得w = y(x - 10) = (-2x + 84)(x - 10) = -2(x - 26)² + 512.
∵ -2 ＜ 0，
∴当x = 26时，w有最大值，最大值为512.
　答：儿童礼品的销售单价定为26元时，日销售利润最大，最大日销售利润为512元.
(3)设捐赠后，日销售利润为k元.
　根据题意，得k = -2(x - 26)² + 512 - my = -2(x - 26)² + 512 - (-2x + 84)m = -2[x - (26 + $\frac{m}{2}$)]² + 2(26 + $\frac{m}{2}$)² - 840 - 84m.
∵ -2 ＜ 0，
∴当x = 26 + $\frac{m}{2}$时，k有最大值，最大值为2(26 + $\frac{m}{2}$)² - 840 - 84m.
∵k的最大值为450，
∴2(26 + $\frac{m}{2}$)² - 840 - 84m = 450.
解，得m₁ = 2，m₂ = 62.
当m = 2时，x = 27，y = 30，符合题意.
当m = 62时，x = 57，y = -30，不符合题意，舍去.
答：m的值为2.