《2026年易点通基础提分数学山西专版》

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为$AB$，$AC$ 边的中点，连接 $BE$，$DE$。若 $\angle AED = \angle BEC$，$DE = 2$，则 $BE$ 的长为 。

答案： 7.4

8. (2025·江苏扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：① $3$，$4$，$5$；② $5$，$12$，$13$；③ $7$，$24$，$25$；④ $9$，$40$，$41$；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为11,60,61。

答案： 8.11,60,61

9. (2025·广西)如图，点 $A$，$D$ 在 $BC$ 同侧，$AB = BC = CA = 2$，$BD = CD = \sqrt{2}$，则 $AD =$\sqrt{3}-1。

答案： $9.\sqrt{3}-1$

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$CD$ 平分 $\angle ACB$，$AE \perp CD$，垂足为 $E$，过点 $E$ 作 $EF // BC$，交 $AC$ 于点 $F$，$G$ 为 $BC$ 的中点，连接 $FG$。求证：$FG = \frac{1}{2}AB$。

答案： 10.证明：
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵EF//BC,
∴∠FEC=∠BCD.
∴∠ACD=∠FEC.
∴EF=CF.
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°.
∴∠EAC+∠ACD=90°,∠AEF+∠FEC=90°.
∴∠EAC=∠AEF.
∴AF=EF.
∴AF=CF.
∴F是AC的中点.
∵G是BC的中点,
∴GF是△ABC的中位线.
∴$FG=\frac{1}{2}AB.$

11. 如图，在 $Rt\triangle ACB$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点 $M$ 为边 $AB$ 的中点，点 $E$ 在线段 $AM$ 上，$EF \perp AC$ 于点 $F$，连接 $CM$，$CE$。已知 $\angle A = 50^{\circ}$，$\angle ACE = 30^{\circ}$。
(1) 求证：$CE = CM$；
(2) 若 $AB = 4$，求线段 $FC$ 的长。

答案： 11.
(1)证明：
∵∠ACB=90°,∠A=50°,
∴∠B=40°.
∵M为AB边的中点,
∴CM=BM.
∴∠MCB=∠B=40°.
∴∠EMC=∠MCB+∠B=40°+40°=80°.
∵∠ACE=30°,
∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°+30°=80°.
∴∠MEC=∠EMC.
∴CE=CM.
(2)解：
∵AB=4,
∴$CE=CM=\frac{1}{2}AB=2.$
∵EF⊥AC,∠ACE=30°,
∴$EF=\frac{1}{2}CE=1.$
∴$FC=\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{3}.$