《2026年点金训练精讲巧练高中物理选择性必修第一册教科版》

4. 如图所示，长为 $ l $ 的细绳下方悬挂一小球 $ a $，绳的另一端固定在天花板上 $ O $ 点处，在 $ O $ 点正下方 $ \frac{3}{4}l $ 的 $ O' $ 点处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为 $ 2^{\circ} $）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球 $ a $ 摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为 $ x $，向右为正。下列图像能描述小球在开始一个周期内的 $ x - t $ 关系的是（ ）

答案： 4.A 解析：摆长为$l$时单摆的周期$T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，振幅$A_{1}=l\alpha$（$\alpha$为摆角），摆长为$\frac{l}{4}$时单摆的周期$T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{l}{4g}}=\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{T_{1}}{2}$，振幅$A_{2}=\frac{l\beta}{4}$（$\beta$为摆角）。根据机械能守恒定律得$mgl(1-\cos\alpha)=\frac{mgl}{4}(1-\cos\beta)$，因$\cos\alpha=1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$，$\cos\beta=1 - 2\sin^{2}\frac{\beta}{2}$，$\sin\frac{\alpha}{2}\approx\frac{\alpha}{2}$，$\sin\frac{\beta}{2}\approx\tan\frac{\beta}{2}\approx\frac{\beta}{2}$（$\frac{\alpha}{2}$、$\frac{\beta}{2}$很小），解得$\beta=2\alpha$，故$A_{2}=\frac{1}{2}A_{1}$，A正确。

5. 如图所示的双线摆，如果摆球大小不计，其摆线长均为 $ L $，线与天花板间的夹角均为 $ \alpha $，重力加速度为 $ g $。求：

（1）此双线摆等效为单摆时的摆长；
（2）当摆球垂直于纸面做简谐运动时的周期。

答案： 5.解析：
(1)摆球垂直于纸面做简谐运动，由题图可知此双线摆等效为单摆时的摆长$l=L\sin\alpha$。
(2)根据单摆的振动周期$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$可得摆球垂直于纸面做简谐运动的周期为$T=2\pi\sqrt{\frac{L\sin\alpha}{g}}$。
答案：
(1)$L\sin\alpha$
(2)$2\pi\sqrt{\frac{L\sin\alpha}{g}}$