《2026年点金训练精讲巧练高中物理选择性必修第一册教科版》

3. 如图所示，粗糙的水平面连接一个固定在竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为$R = 0.1m$，半圆形轨道的底端放置一个质量为$m = 0.1kg$的小球$B$，水平面上有一个质量为$M = 0.3kg$的木块$A$以初速度$v_0 = 4.0m/s$开始向着小球$B$滑动，经过时间$t = 0.80s$与$B$发生弹性碰撞。设两物体均可看作质点，它们的碰撞时间极短，且已知木块$A$与水平面间的动摩擦因数$\mu = 0.25$，取$g = 10m/s^2$。求：

（1）两物体碰前$A$的速度大小；
（2）碰撞后$A$、$B$的速度大小；
（3）小球$B$运动到最高点$C$时对轨道的压力。

答案： 解析：
(1)碰前对$A$由动量定理有
$-\mu Mgt = Mv_{A}-Mv_{0}$，
解得$v_{A}=2m/s$。
(2)对$A$、$B$，碰撞前后动量守恒有
$Mv_{A}=Mv_{A}'+mv_{B}$，
碰撞前后动能保持不变有
$\frac{1}{2}Mv_{A}^{2}=\frac{1}{2}Mv_{A}'^{2}+\frac{1}{2}Mv_{B}^{2}$，
由以上各式解得$v_{A}' = 1m/s$，$v_{B}=3m/s$。
(3)$B$球在轨道上只有重力做功，由动能定理可得
$2mgR=\frac{1}{2}mv_{C}^{2}-\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，解得$v_{C}=\sqrt{5}m/s$，
在最高点$C$，对小球$B$有$mg + F_{N}=m\frac{v_{C}^{2}}{R}$，
解得$F_{N}=4N$，由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小为$4N$，方向竖直向上。
答案：
(1)$2m/s$
(2)$1m/s$ $3m/s$
(3)$4N$，方向竖直向上

4. （2025·山东卷）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，$P$、$Q$分别为轨道的两个端点且位于同一高度，$P$处轨道的切线沿水平方向，$Q$处轨道的切线沿竖直方向。小物块$a$、$b$用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，$b$被锁定。一个质量$m = \frac{1}{2}kg$的小球自$Q$点正上方$h = 2m$处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从$P$点水平抛出，恰好击中$a$，与$a$粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到$F = 15N$时，$b$解除锁定开始运动。已知$a$的质量$m_a = 1kg$，$b$的质量$m_b = \frac{3}{4}kg$，方形物体的质量$M = \frac{9}{2}kg$，取重力加速度大小$g = 10m/s^2$，弹簧的劲度系数$k = 50N/m$，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式$E_p = \frac{1}{2}kx^2$（$x$为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。

求：
（1）小球到达$P$点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小$v_1$、$v_2$；
（2）弹簧弹性势能最大时，$b$的速度大小$v_b$及弹性势能的最大值$E_{pm}$。

答案： 解析：
(1)小球从开始下落到$P$处过程中，以水平向左为正方向，水平方向上动量守恒，有
$mv_{1}=Mv_{2}$，
由能量守恒定律得
$mgH=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}$，
代入数据联立解得
$v_{1}=6m/s$，$v_{2}=\frac{2}{3}m/s$，
即小球速度为$6m/s$，方向水平向左，方形物体速度为$\frac{2}{3}m/s$，方向水平向右。
(2)小球落在物块$a$正上方，与其粘在一起，竖直方向速度变为$0$，以水平向左为正方向，小球和物块$a$水平方向上动量守恒，则有
$mv_{1}=(m + m_{a})v_{3}$，
代入数据解得
$v_{3}=2m/s$，
设当弹簧形变量为$x_{1}$时物块$b$解除锁定，此时小球和物块$a$的速度为$v_{4}$，根据胡克定律得
$F = kx_{1}$，
对小球、物块$a$和弹簧，由能量守恒定律得
$\frac{1}{2}(m + m_{a})v_{3}^{2}=\frac{1}{2}(m + m_{a})v_{4}^{2}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}$，
代入数据联立解得
$v_{4}=1m/s$，$x_{1}=0.3m$，
解除锁定之后，小球、物块$a$和物块$b$组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有
$(m + m_{a})v_{4}=(m + m_{a}+m_{b})v_{b}$，
代入数据解得
$v_{b}=\frac{2}{3}m/s$，方向水平向左；
对$a$、$b$和弹簧由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
$E_{pm}=\frac{1}{2}(m + m_{a})v_{4}^{2}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}-\frac{1}{2}(m + m_{a}+m_{b})v_{b}^{2}$，
代入数据解得
$E_{pm}=2.5J$。
答案：
(1)$6m/s$ $\frac{2}{3}m/s$
(2)$\frac{2}{3}m/s$ $2.5J$