《2026年点金训练精讲巧练高中物理选择性必修第一册教科版》

3. 如图所示，光滑圆弧轨道的半径为 $ 2 m $， $ C $ 点为圆心正下方的点， $ A $、 $ B $ 两点与 $ C $ 点的距离分别为 $ 6 cm $、 $ 2 cm $。现将 $ a $、 $ b $ 两直径相同的小球分别从 $ A $、 $ B $ 两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是（ ）


A.$ C $ 点
B.$ C $ 点右侧
C.$ C $ 点左侧
D.不能确定

答案： A 解析：由于轨道半径远大于$A$、$B$两点与$C$点的距离，故两小球都可看作在做简谐运动，类似于单摆。因此周期只与“摆长”即轨道半径和当地的重力加速度有关，与运动的弧长即振幅无关，可知两小球周期相同，故两小球同时到达$C$点，即在$C$点相碰，A正确。

4. 一个单摆的摆长为 $ l $，在其悬点正下方 $ 0.19l $ 处有一钉子 $ P $，如图所示。现将摆球向左拉至 $ A $ 位置，放手后让其摆动，则此单摆的振动周期是（图中摆角 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 都小于 $ 5° $）（ ）


A.$ 1.62 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $
B.$ 1.9 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $
C.$ 3.8 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $
D.$ 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $

答案： B 解析：摆球释放后到达右边最高点$B$点处，由机械能守恒可知$B$点和$A$点等高，则摆球始终做简谐运动。摆球在左边的周期为$T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{t}{n}=\frac{60.8}{30} s\approx2.027 s$，
摆球在右边的周期为$T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{0.81l}{g}}$，
则整个单摆的周期为$T=\frac{T_{1}}{2}+\frac{T_{2}}{2}=\pi\sqrt{\frac{l}{g}}+\pi\sqrt{\frac{0.81l}{g}}=1.9\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$。

5. 有一单摆，其摆长 $ l = 1.02 m $，摆球的质量 $ m = 0.10 kg $。已知单摆做简谐运动，单摆振动 $ 30 $ 次用的时间 $ t = 60.8 s $。
（1）试求当地的重力加速度的大小。
（2）如果将这个摆改为秒摆（周期为 $ 2 s $），摆长应怎样改变？改变多少？

答案： 解析：
(1)当单摆做简谐运动时，其周期$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$，
由此可得$g=\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$，
因为$T=\frac{t}{n}=\frac{60.8}{30} s\approx2.027 s$，
所以$g=\frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}=\frac{4×3.14^{2}×1.02}{2.027^{2}} m/s^2\approx9.79 m/s^2$。
(2)秒摆的周期是$2 s$，设其摆长为$l_0$，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有$\frac{T}{T_0}=\sqrt{\frac{l}{l_0}}$，
故有$l_0=\frac{T_0^2l}{T^2}=\frac{2^{2}×1.02}{2.027^{2}} m\approx0.993 m$，
其摆长要缩短$\Delta l=l - l_0=1.02 m-0.993 m=0.027 m$。
答案：
(1)$9.79 m/s^2$
(2)缩短 $0.027 m$