《2026年点金训练精讲巧练高中物理选择性必修第一册教科版》

探究活动
质量分别为$m_1$、$m_2$的滑块$A$、$B$静止于光滑水平面上，滑块$B$左侧连有轻质弹簧，现使滑块$A$以$v_0$的速度向右运动，如图所示，与滑块$B$发生碰撞。

（1）弹簧的弹性势能什么时候最大？
（2）在$A$与$B$通过弹簧作用过程中，$B$的速度何时最大？

答案： （1）弹簧被压缩至最短时，弹性势能最大，此时$A$、$B$具有相同的速度。
（2）当$A$、$B$作用结束时，也就是弹簧从压缩又恢复到原长时，$B$的速度最大。

1. 如图所示，甲车质量$m_1 = 20kg$，车上有质量$M = 50kg$的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高$h = 0.45m$处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量$m_2 = 50kg$的乙车正以$v_0 = 1.8m/s$的速度迎面滑来。为了避免两车相撞，当两车相距适当的距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应在什么范围以内。(不计地面和斜面的摩擦，取$g = 10m/s^2$)

答案： 解析：在水平面上人跳离甲车和跳上乙车的两个过程中水平方向动量是守恒的。甲车从斜坡滑到平面上的速度$v_{甲}=\sqrt{2gh}=3m/s$，设人跳离甲车后甲车的速度为$v_{甲}'$，跳上乙车后乙车的速度为$v_{乙}'$，人跳离甲车的水平速度为$v$，以水平向右为正方向，则
$(M + m_{1})v_{甲}=Mv + m_{1}v_{甲}'$，
$Mv - m_{2}v_{0}=(M + m_{2})v_{乙}'$，
甲、乙两车恰好不相撞的临界条件为$v_{甲}' = \pm v_{乙}'$，若甲、乙同向且$v_{甲}' ＞ v_{乙}'$，则甲、乙将相撞；若甲、乙反向且$v_{甲}' ＞ v_{乙}'$，则甲车冲上斜面返回后将与乙车发生碰撞。
联立①②两式解得当$v_{甲}' = v_{乙}'$时，$v = 3.8m/s$，当$v_{甲}' = -v_{乙}'$时，$v = 4.8m/s$。
故为了避免两车相撞，人从甲车跳到乙车上的速度应满足$3.8m/s \leqslant v \leqslant 4.8m/s$。
答案：$3.8m/s \leqslant v \leqslant 4.8m/s$

2. 如图所示，光滑水平地面上有一质量为$2m$的物体$A$，$A$以水平速度$v_0$向右运动。在$A$的右侧静止一质量为$m$的物体$B$，$B$的左侧与一轻质弹簧固定相连，$B$的右侧有一固定的挡板，$B$与挡板的碰撞是弹性的，在弹簧与$A$第一次相互作用的过程中，$B$不会碰到挡板。求：

(1)$A$与弹簧第一次相互作用过程中，弹簧的最大弹性势能大小；
(2)弹簧与$A$第二次相互作用后$A$的速度大小。

答案： 解析：
(1)当$A$与$B$的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设此共同速度为$v_{共}$，由$A$、$B$与弹簧组成的系统动量守恒得$2mv_{0}=(2m + m)v_{共}$，解得$v_{共}=\frac{2}{3}v_{0}$，
所以$E_{p}=\frac{1}{2} × 2mv_{0}^{2}-\frac{1}{2} × (2m + m)v_{共}^{2}=\frac{1}{3}mv_{0}^{2}$。
(2)设$A$与弹簧第一次接触的过程中，$A$脱离弹簧瞬间速度为$v_{1}$，$B$的速度为$v_{2}$，则
由动量守恒定律得$2mv_{0}=2mv_{1}+mv_{2}$，
由能量守恒定律得$\frac{1}{2} × 2mv_{0}^{2}=\frac{1}{2} × 2mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}mv_{2}^{2}$，
联立两式得$v_{1}=\frac{v_{0}}{3}$，$v_{2}=\frac{4}{3}v_{0}$，
$B$与挡板的碰撞是弹性的，则$B$与挡板碰后反弹，速度大小$\frac{4}{3}v_{0}$，方向水平向左。
设$A$与弹簧第二次接触过程中脱离的速度为$v_{3}$，$B$的速度为$v_{4}$，由动量守恒定律得$mv_{2}-2mv_{1}=2mv_{3}+mv_{4}$，
由能量守恒定律得
$\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+\frac{1}{2} × 2mv_{1}^{2}=\frac{1}{2} × 2mv_{3}^{2}+\frac{1}{2}mv_{4}^{2}$，
联立两式得$v_{3}=\frac{7}{9}v_{0}$。
答案：
(1)$\frac{1}{3}mv_{0}^{2}$
(2)$\frac{7}{9}v_{0}$