《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

例 2 已知数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n = 5^n - 1 $，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 例2 解：当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 5^1 - 1 = 4$；
当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (5^n - 1) - (5^{n - 1} - 1) = 5^n - 5^{n - 1} = 4×5^{n - 1}$。
由于$a_1 = 4$也满足$a_n = 4×5^{n - 1}$，
因此，数列$\{ a_n \}$的通项公式是$a_n = 4×5^{n - 1}$。

思考 1. 若将本例中的“$ S_n = 5^n - 1 $”换成“$ S_n = 5^n + 1 $”，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 思考1.提示：当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 5 + 1 = 6$；
当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (5^n + 1) - (5^{n - 1} + 1) = 4×5^{n - 1}$。由于$a_1 = 6$不满足$a_n = 4×5^{n - 1}$，所以数列$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n = \begin{cases} 6,n = 1, \\ 4×5^{n - 1},n\geq2 \end{cases}$。

思考 2. 若将本例中的“$ S_n = 5^n - 1 $”换成“$ S_n = 3^n + r $（$ r \in \mathbf{R} $”，求数列$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 思考2.提示：当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 3 + r$；
当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (3^n + r) - (3^{n - 1} + r) = 3^n - 3^{n - 1} = 2×3^{n - 1}$。
令$3 + r = 2×3^0$，解得$r = -1$。
所以当$r = -1$时，数列$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n = 2×3^{n - 1}$；
当$r\neq -1$时，数列$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n = \begin{cases} 3 + r,n = 1, \\ 2×3^{n - 1},n\geq2 \end{cases}$。

1. 若数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n = 2^n + 1 $，则 $ \frac{a_5 + a_6}{a_2} = $(D)
A.7
B.8
C.12
D.24

答案： 1.D 解析：由题意得$a_5 + a_6 = S_6 - S_4 = 2^6 - 2^4 = 48$，
$a_2 = S_2 - S_1 = 2^2 - 2^1 = 2$，所以$\frac{a_5 + a_6}{a_2} = 24$.故选D.

2. 已知数列$\{ a_n \}$的前 $ n $ 项和为 $ S_n = 3n^2 + 4n + 2 $，求$\{ a_n \}$的通项公式.

答案： 2.解：当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 9$；
当$n\geq2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (3n^2 + 4n + 2) - [3(n - 1)^2 + 4(n - 1) + 2] = 6n + 1$。
因为$a_1 = 9$不满足上式，
所以$a_n = \begin{cases} 9,n = 1, \\ 6n + 1,n\geq2 \end{cases}$。