《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. (多选)下列说法正确的是(AC)
A.若$a - b = b - c$，则$a$，$b$，$c$成等差数列
B.若$a_{n}-a_{n - 1}=n(n\in \mathbf{N}^{*}$，且$n＞1)$，则$\{ a_{n}\}$是等差数列
C.等差数列是相邻两项中的后项与前项之差都等于同一个常数的数列
D.等差数列的公差是该数列中任意两项的差

答案： 1.AC 解析：对于A，由$a - b = b - c$及等差数列的定义，可得$a,b,c$成等差数列，A正确；对于B，$n$不是常数，该数列不是等差数列，B错误；对于C，根据等差数列的定义可知，C正确；对于D，公差应为相邻两项中后项减前项之差，D错误.故选AC.

2. 若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且$a_{n}=an^{2}+n$，则实数$a=$0.

答案： 2.0 解析：因为$\{a_n\}$是等差数列，所以$a_{n + 1}-a_n$为常数，即$[a(n + 1)^2+(n + 1)]-(an^2 + n)=2an+a + 1$为常数，所以$2a = 0$，解得$a = 0$.

3. 若等差数列$\{ a_{n}\}$的前三项为$1$，$a + 1$，$a + 3$，则实数$a$的值为2.

答案： 3.3 解析：因为$1,a + 1,a + 3$为等差数列$\{a_n\}$的前三项，所以$2(a + 1)=1+a + 3$，解得$a = 2$.

例1 （1）已知在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{5}=10$，$a_{12}=31$，求首项$a_{1}$与公差$d$.
（2）在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{5}=11$，$a_{8}=5$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式及$a_{10}$.

答案： 例1 解：
(1)设$a_n=a_1+(n - 1)d$.
因为$a_5 = 10,a_{12}=31$，
所以$\begin{cases}a_1 + 4d = 10,\\a_1 + 11d = 31,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = -2,\\d = 3.\end{cases}$
所以等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = -2$，公差$d = 3$.
(2)(方法一)设$a_n=a_1+(n - 1)d$，
则$\begin{cases}a_5=a_1+(5 - 1)d,\\a_8=a_1+(8 - 1)d,\end{cases}$
即$\begin{cases}11=a_1 + 4d,\\5=a_1 + 7d,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 19,\\d = -2.\end{cases}$
所以$a_n=-2n + 21$.
所以$a_{10}=-2×10 + 21 = 1$.
(方法二)设$a_n=An + B$，
则$\begin{cases}a_5 = 5A + B,\\a_8 = 8A + B,\end{cases}$即$\begin{cases}11 = 5A + B,\\5 = 8A + B,\end{cases}$解得$\begin{cases}A = -2,\\B = 21.\end{cases}$
所以$a_n=-2n + 21$.所以$a_{10}=-2×10 + 21 = 1$.