《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
(1) 如果数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，且公比不等于 $ 1 $，那么其前 $ n $ 项和 $ S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n + 1}}{1 - q}$.（√）
(2) 若 $ S_{n}=a + 2a^{2}+3a^{3}+·s+na^{n} $，求 $ S_{n} $ 时只要把上式等号两边同时乘 $ a $，即可根据错位相减法求得.（×）
(3) 数列$\{ 2^{n}-1\}$的前 $ n $ 项和 $ S_{n}=2^{n + 1}-2 - n$.（√）

答案： 1.
(1)√ 提示：等比数列前n项和公式$S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}(q \neq 1)$.
(2)× 提示：需满足$a$不等于$0$且不等于$1$.
(3)√ 提示：$S_n=(2^1 -1)+(2^2 -1)+(2^3 -1)+·s+(2^n -1)=(2^1 +2^2 +2^3 +·s+2^n)-n=2^{n+1}-2-n$.

2. 若数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，$ a_{1}=1 $，$ a_{n}+a_{n + 1}=4×3^{n - 1} $，则 $ S_{2024}= $$\frac{3^{2024}-1}{2}$.

答案： 2.$\frac{3^{2024}-1}{2}$ 解析：由题意得$S_{2024}=(a_1 +a_2)+(a_3 +a_4)+(a_5 +a_6)+·s+(a_{2023}+a_{2024})=4×(3^0 +3^2 +3^4+·s+3^{2022})=4×\frac{1×(1-3^{2024})}{1-3^2}=\frac{3^{2024}-1}{2}$.

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 应用等比数列前 $ n $ 项和公式时应先确定哪些信息？
(2) 前面我们学习了哪些数列求和的方法？分别适用于什么情况？

答案： 3.
(1)提示：判断数列是否是等比数列，公比是多少，是否为$1$，首项、项数是多少.
(2)提示：①倒序相加法：如果一个数列的前$n$项满足与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，那么这个数列的前$n$项和即可用此法来求.如等差数列前$n$项和公式就是用此方法推导的.②裂项相消法：能把数列的通项拆成两项的差，正负相消后剩下首尾若干项.③错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前$n$项和即可用此法来求.如公比不为$1$的等比数列的前$n$项和公式就是用此法推导的.

1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座 $ 7 $ 层塔共挂了 $ 381 $ 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 $ 2 $ 倍，请问，塔的顶层有几盏灯？该问题的答案为（B）
A.$ 2 $ 盏
B.$ 3 $ 盏
C.$ 5 $ 盏
D.$ 6 $ 盏

答案： 1.B 解析：设从上到下塔的各层灯数构成的等比数列为$\{a_n\}$，数列的前$n$项和为$S_n$，公比为$q$，则由题意知$S_7=381,q=2$.又由$S_7=\frac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{a_1(1-2^7)}{1-2}=381$，解得$a_1=3$.故选B.

2. 为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字.已知热气球在第一分钟内能上升 $ 25 $ m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟上升高度的 $ 80\% $，则该气球______不能（填“能”或“不能”）上升到 $ 125 $ m 高空.

答案： 2.不能 解析：设$a_n$表示热气球在第$n\ min$上升的高度.根据题意，有$a_n=\frac{4}{5}a_{n-1}(n \geqslant 2,n \in N^*)$.易知$a_1=25$，$\{a_n\}$为首项$a_1=25$，公比$q=\frac{4}{5}$的等比数列.热气球前$n\ min$上升的总高度$S_n=a_1+a_2+·s+a_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=125×[1-(\frac{4}{5})^n]＜125$，即该气球不能上升到$125\ m$高空.

3. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.据规划，本年度投入 $ 800 $ 万元，以后每年投入的资金将比上一年减少$\frac{1}{5}$，本年度当地旅游业收入估计为 $ 400 $ 万元.由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长$\frac{1}{4}$，则 $ n $ 年内的总投入为______万元，$ n $ 年内旅游业的总收入为______万元.
$4000×[1-(\frac{4}{5})^n]$
$1600×[(\frac{5}{4})^n-1]$

答案： 3.$4000×[1-(\frac{4}{5})^n]$ $1600×[(\frac{5}{4})^n-1]$解析：由题意知第$1$年投入$800$万元，第$2$年投入$800×(1-\frac{1}{5})$万元，$·s·s$第$n$年投入$800×(1-\frac{1}{5})^{n-1}$万元，所以每年的投入资金数构成首项为$800$，公比为$(1-\frac{1}{5})$的等比数列.所以$n$年内的总投入$S_n=800+800×(1-\frac{1}{5})+·s+800×(1-\frac{1}{5})^{n-1}=4000×[1-(\frac{4}{5})^n]$(万元).由题意知，第$1$年旅游业收入为$400$万元，第$2$年旅游业收入为$400×(1+\frac{1}{4})$万元，$·s·s$第$n$年旅游业收入为$400×(1+\frac{1}{4})^{n-1}$万元，所以每年的旅游业收入资金数构成首项为$400$，公比为$(1+\frac{1}{4})$的等比数列.所以$n$年内旅游业的总收入$T_n=400+400×(1+\frac{1}{4})+·s+400×(1+\frac{1}{4})^{n-1}=1600×[(\frac{5}{4})^n-1]$万元.故$n$年内的总投入为$4000×[1-(\frac{4}{5})^n]$万元，$n$年内旅游业的总收入为$1600×[(\frac{5}{4})^n-1]$万元.