《2026年点金训练精讲巧练高中数学选择性必修第二册人教A版》

1. 在① $ a_{5}=b_{4}+2b_{6} $，② $ a_{3}+a_{5}=4(b_{1}+b_{4}) $，③ $ b_{2}S_{4}=5a_{2}b_{3} $ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设数列$\{ a_{n}\}$是公比大于 $ 0 $ 的等比数列，其前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，$\{ b_{n}\}$是等差数列.已知 $ a_{1}=1 $，$ S_{3}-S_{2}=a_{2}+2a_{1} $，$ a_{4}=b_{3}+b_{5} $，______.
(1) 求$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式；
(2) 设 $ T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+·s+a_{n}b_{n} $，求 $ T_{n} $.
(1)选条件①.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).所以$a_n=2^{n-1}$.设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,a_5=b_4+2b_6$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\3b_1+13d=16\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.
选条件②.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).所以$a_n=2^{n-1}$.设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,a_3+a_5=4(b_1+b_4)$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\2b_1+3d=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.
选条件③.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,b_2S_4=5a_2b_3$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\b_1-d=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.
(2)由(1)知，$a_n=2^{n-1},b_n=n$，所以$T_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+·s+a_nb_n=1×2^0+2×2^1+·s+(n-1)×2^{n-2}+n×2^{n-1}$，所以$2T_n=1×2^1+2×2^2+·s+(n-1)×2^{n-1}+n×2^n$，所以$-T_n=1+2^1+2^2+·s+2^{n-1}-n×2^n=\frac{1-2^n}{1-2}-n×2^n=2^n-1-n×2^n$，所以$T_n=(n-1)×2^n+1$.

答案： 1.解：
(1)选条件①.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).所以$a_n=2^{n-1}$.设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,a_5=b_4+2b_6$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\3b_1+13d=16\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.选条件②.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).所以$a_n=2^{n-1}$.设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,a_3+a_5=4(b_1+b_4)$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\2b_1+3d=5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.选条件③.设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_1=1,S_3-S_2=a_3=a_2+2a_1$，所以$q^2-q-2=0$，解得$q=2$或$q=-1$(舍).设等差数列$\{b_n\}$的公差为$d$.因为$a_4=b_3+b_5,b_2S_4=5a_2b_3$，所以$\begin{cases}2b_1+6d=8\\b_1-d=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b_1=1\\d=1\end{cases}$.所以$b_n=n$.所以$a_n=2^{n-1},b_n=n$.
(2)由
(1)知，$a_n=2^{n-1},b_n=n$，所以$T_n=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+·s+a_nb_n=1×2^0+2×2^1+·s+(n-1)×2^{n-2}+n×2^{n-1}$，所以$2T_n=1×2^1+2×2^2+·s+(n-1)×2^{n-1}+n×2^n$，所以$-T_n=1+2^1+2^2+·s+2^{n-1}-n×2^n=\frac{1-2^n}{1-2}-n×2^n=2^n-1-n×2^n$，所以$T_n=(n-1)×2^n+1$.

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足 $ a_{2}+4 $，$ a_{5} $，$ a_{6} $ 成等差数列，且 $ a_{4} $，$ a_{7} $，$ a_{12} $ 成等比数列.
(1) 求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 在数列$\{ a_{n}\}$的每相邻两项 $ a_{t} $ 与 $ a_{t + 1} $ 间插入 $ 2^{t} $ 个 $ 3 $，$ t = 1,2,3,·s $，使它们和原数列$\{ a_{n}\}$的项构成一个新数列$\{ b_{n}\}$，数列$\{ b_{n}\}$的前 $ n $ 项和记为 $ S_{n} $，求 $ b_{1} $ 及 $ S_{2033} $.

答案： 2.解：
(1)设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$.因为$a_2+4,a_5,a_6$成等差数列，所以有$2a_5=a_6+a_2+4$，即$2(a_1+5d)=a_1+d+a_1+d+4$，解得$d=2$.因为$a_4,a_7,a_{12}$成等比数列，所以$a_7^2=a_4a_{12}$，即$(a_1+6×2)^2=(a_1+3×2)(a_1+11×2)$，解得$a_1=3$.所以$a_n=3+(n-1)×2=2n+1$.
(2)由题意可知$b_1=a_1=3$，且在$3$和$5$之间插入$2$个$3$，在$5$和$7$之间插入$2^2$个$3$，$·s·s$在$19$和$21$之间插入$2^9$个$3$，此时共插入$3$的个数为$\frac{2×(1-2^9)}{1-2}=2^{10}-2=1022＜2033$.在$21$和$23$之间插入$2^{10}$个$3$，此时共插入$3$的个数为$\frac{2×(1-2^{10})}{1-2}=2^{11}-2=2046＞2033$.所以$S_{2033}=(3+5+·s+21)+(2033-10)×3=(3+21)×10÷2+2023×3=6189$.